Дискретная математика
.pdf11
½ x2 ¡ y2 + z2 6 0 1: ½ 4y 6 x2 + z2 + 1
x2 + y2 6 4; z > 0 3: ½ z 6 16 ¡ x2 ¡ y2
4 6 z 6 6 5: ½ x2 + y2 6 4z
x2 + y2 + z2 6 16 7: ½ y2 + z2 6 6x
x2 + z2 6 y2 9: ½ x2 + z2 6 2 ¡ y
2y > x2 + z2
11: ½ y2 6 4(x2 + z2) y2 + z2 6 9; x > 0
13: ½ x2 + y2 + z2 6 16 x2 + z2 > 4y > 0
15: ½ x2 + z2 6 9
x > 9(y2 + z2) 17: ½ 3x 6 3 ¡ y2 ¡ z2
y 6 z 6 4y; y > 0 19: ½ x2 + y2 6 9
y > 0
21: ½ y 6 5 ¡ x2 ¡ z2
x2 + y2 + z2 6 4x
23: ½ y2 + z2 6 2x2
x > 0; y2 + z2 6 2 25: ½ x2 6 y2 + z2 + 1
x2 + y2 + z2 6 2 27: ½ y 6 x2 + z2
y > (x2 + z2)=4 ¡ 1 29: y 6 2 ¡ (x2 + z2)=2
½ ¡x2 + y2 + z2 6 0 2: ½ x2 + y2 + z2 6 9
x2 + y2 + z2 6 1 4: ½ x2 + z2 6 z
x2 + z2 6 5y2
6: ½ x2 + y2 + z2 6 9 y > ¡4
8: ½ x2 + z2 + y 6 5
y2 + z2 6 8x
10: ½ 9 ¡ y2 ¡ z2 > 5x x2 + y2 6 25; z > 0
12: ½ x2 + y2 + z2 6 36 x2 + y2 + z2 6 49
14: ½ x2 + y2 > 4z
x + y + z 6 4
16: ½ z > 0; x2 + y2 6 2
x2 + y2 6 7z2
18: ½ x2 + y2 + z2 6 4
x2 + y2 6 3z
20: ½ x2 + y2 + z2 6 4
0 6 x 6 6 ¡ y ¡ z
22: ½ y2 + z2 6 16
3 6 y 6 4
24: ½ y 6 8 ¡ x2 ¡ z2 x2 + z2 > 4; y > 0
26: ½ x2 + y2 + z2 6 25 28: 0 6 z 6 5(x2 + y2)
½ x + y 6 1; x > 0; y > 0 x > 0; y > 0; z > 0
30: z 6 1 ¡ x2 ¡ y2
ЗАДАЧА 6. Вычислить циркуляцию плоского векторного поля
I
P (x; y)dx + Q(x; y)dy
L
двумя способами: непосредственно и по формуле Грина.
12
N |
|
|
|
|
L |
P (x; y) |
Q (x; y) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
¢ABC |
x2 + y2 |
2 (x + y)2 |
||||||
|
A (2; 1) B (2; 3) C (4; 3) |
|
|
|
xy + 2x ¡ 2y |
||||||||
2 |
x2=9 + y2=4 = 1 |
xy + x + y |
|||||||||||
3 |
x2 + y2 = 4y |
xy + 3 |
xy ¡ 2x + 3y |
||||||||||
4 |
x2 + y2 = 16 |
¡xy2 |
2x2y |
|
|
||||||||
5 |
x2 + y2=16 = 1 |
2x + 2y |
¡2x + 2y |
||||||||||
6 |
y = sin x; y = 0; 0 6 x 6 ¼ |
y2 |
xy |
|
|
||||||||
7 |
x2=9 + y2 = 4 |
x2y2 |
x2 + 4 |
|
|
||||||||
8 |
y = 4x2; y = 4 |
xy2 |
x ¡ y |
|
|
||||||||
9 |
y = 5x2; y = 10x |
(x + y)2 |
(x ¡ y)2 |
||||||||||
10 |
|
|
|
|
¢ABC |
3xy2 |
x3 + 4x2 |
||||||
A (0; 1) B (2; 5) C (0; 5) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11 |
x = 4y2; x = 16 |
y2 + xy |
x2 + xy |
||||||||||
12 |
x2 + y2 = 25 |
y2 + x2 |
x2 + y3 |
||||||||||
13 |
y = x2; y = 8x |
4xy |
5x2 |
|
|
||||||||
14 |
x = 9y2; x = 3y |
xy |
2x2 + 3y2 |
||||||||||
15 |
x2 + y2 = 16 |
2x + 3y2 |
3x ¡ 2y2 |
||||||||||
16 |
x2=25 + y2=4 = 1 |
5y + x2 |
¡3x |
|
|
||||||||
17 |
4y = x2 + 4; y = 3x ¡ 4 |
x + 2y |
x ¡ 2y |
|
|
||||||||
18 |
|
|
|
|
¢ABC |
4xy |
x2 + y2 |
||||||
A (0; 0) B (2; 3) C (0; 3) |
|||||||||||||
|
2 (x + y)2 |
¡2 (x ¡ y)2 |
|||||||||||
19 |
jxj + jyj = 4 |
||||||||||||
20 |
x2 + y2 = 36 |
x + y2 |
x3=3 |
|
|
||||||||
21 |
x2=16 + y2=9 = 1 |
x + y |
x2 ¡ y2 |
||||||||||
22 |
y = x2; y = 4x ¡ 3 |
x2 + 4xy |
4xy + y2 |
||||||||||
23 |
|
|
|
|
¢ABC |
x2 + y2 |
(x + y)2 |
||||||
|
A (3; 3) B (5; 5) C (3; 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
24 |
y = p |
|
|
|
|
x2 ¡ 5y |
x2 + 5y |
||||||
x; 4y = x + 3 |
|||||||||||||
25 |
|
|
|
|
¢ABC |
|
y2 + 2 |
|
2y2 ¡ x |
|
|||
A (2; 1) B (1; 4) C (2; 4) |
|
y |
|
|
|||||||||
|
|
|
y2 |
|
|
||||||||
26 |
y = 4p |
|
|
xy2 |
4x2y |
|
|
||||||
x; y = 4x |
|
|
|||||||||||
27 |
x2 + y2 = 4 |
x + 2y |
y ¡ 2x |
|
|
||||||||
28 |
|
|
|
|
¢ABC |
¡x2 ¡ y2 |
(x + y) |
2 |
|||||
A (3; 4) B (5; 6) C (3; 6) |
|
|
|||||||||||
29 |
x2 + y2 = 9 |
x + y2 |
x ¡ y2 |
|
|
||||||||
30 |
x2=4 + y2=25 = 1 |
y + x2 |
¡x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
вектор. |
r = xi+yj+zk |
jrj = p |
|
|
|
|
|
|
|
, |
c |
|
||||||
x |
|
+ y |
|
+ z |
|
|
||||||||||||
ЗАДАЧА 7. Ниже |
|
|
|
, |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
-постоянный |
||
1. |
Найти rot(cf(jrj)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Найти rot[c; rf(jrj)]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Доказать, что div[a; b] = b rot a ¡ a rot b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
Найти div(u grad u). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
Найти угол ' между градиентами поля u = x=(x2 + y2 + z2) â |
|||||||||||||||||
точках A(1; ¡2; 2) è B(3; 1; 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
Доказать, что rot(ua) = u rot a ¡ [a; grad u]. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7. |
Найти div (b(r; a)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
Найти grad u, ãäå u = j[c; r]j. |
+ y2 ; 2¼ x2 |
+ y2 ; z¶. |
|
|
|
|
|||||||||||
9. |
Найти rot a, ãäå a = µ¡2¼ x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
! |
|
|
y |
! |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
10.Найти div rot a.
11.Найти rot grad u.
12.Найти угол ' между градиентами поля u = y=(x2 + y2 + z2) â
точках A(1; 2; 2) è B(3; 2; 0).
13.Доказать, что div(ua) = (a; grad u) + u div a.
14.Найти rot a, ãäå a = [grad u; b], u = y2 ¡ 2xz + z2, b = i + 2j ¡ 3k.
15.Найти производную поля u = x2 + y2 ¡ 3x + 2y в точке M0(0; 1; 2) по направлению от точки M0 к точке M(3; 1; 6).
16.Найти rot(f(jrj)r).
17.Найти div[b; r], ãäå b = x2i + y2j.
18.Найти rot a, ãäå a = (yi + zj + xk)=jrj.
19.Найти угол ' между градиентами поля u = z=(x2 + y2 + z2) â
точках A(2; 1; 1) è B(¡3; ¡2; 1).
20.Найти rot a, ãäå a = [grad u; b], u = x2 ¡ 2yz + y3, b = 2i ¡ 3j + 6k.
21.Найти div[b; r], ãäå b = y2i ¡ x2k.
22.Найти div(f(jrj)r).
23.Найти производную поля u = xy+yz¡2y+4z в точке M0(¡1; 2; ¡3) по направлению от точки M0 к точке M(¡4; 2; 1).
24.Найти rot a, ãäå a = (zi + xj + yk)=jrj.
25.Найти производную поля u = y2z ¡ 2xyz + z2 в точке M0(3; 1; 1) по направлению вектора a, если a образует с координатными осями
острые углы ®; ¯; °, ® = ¼=3, ¯ = ¼=4.
26. Найти rot a, ãäå a = [grad u; b], u = xyz ¡ 2y + z3, b = 2i ¡ 3j ¡ 4k.
14
27.Найти div[b; r], ãäå b = xyi ¡ yzj + x2k.
28.Найти угол ' между градиентами поля u = (z ¡ x)=(x2 + y2 + z2)
в точках A(¡2; 1; 3) è B(3; 4; ¡2).
ЗАДАЧА 8. Вычислить площадь части поверхности ¾, заключен-
ную внутри цилиндрической поверхности Ц. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¾ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
x = 2yz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 + z2 = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
y = p |
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
9 ¡ x2 ¡ z2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
x = 3 ¡ y ¡ z |
|
|
|
|
y2 + z2 = 2z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4 |
y2 = x2 + z2 |
|
|
|
|
x2 + z2 = 4x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5 |
y2 + z2 = 1; z > 0 |
x2 + y2 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
x2 + y2 + z2 = 4; z 6 0 |
x2 + y2 = 2x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
x2 + y2 + z2 = 16; x > 0 |
y2 + z2 = 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
x2 = y2 + z2; x 6 0 |
y2 + z2 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
2z = xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
10 |
2z = x2 + y2 |
|
|
|
|
x2 + y2 = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
11 |
y2 = 2xz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 6 x 6 2; 0 6 z 6 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
12 |
z = 9 ¡ x2 ¡ y2 |
|
|
x2 + y2 = 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
13 |
x = |
y2 + z2 |
|
|
|
|
|
y2 + z2 = 4z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
z = p |
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 = 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
14 |
y2 ¡ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y2 |
¡ |
|
z2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
15 |
2x =p |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
) |
|
¡ |
+ |
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
17 |
8 ¡ |
|
|
|
= ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
¢ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
16 |
2y = x |
2 |
+ z |
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ z |
2 |
|
|
= 2xz |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
19 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
y2 3=2 |
x2 |
|
|
y2 = 4 |
|
|
|
|
¡ |
|
|
||||||||||||||
x2 + y2 |
= z2 |
|
|
|
|
x¡2 + y2 |
|
|
2¢ |
= 9xy |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
18 |
y = x |
2 |
|
|
+ z |
2 |
|
|
|
|
|
|
4 x |
2 |
|
+ z |
2 |
2 |
= x |
2 |
|
z |
2 |
|||||||||||||||||
20 |
x2 + y2 |
+ z2 = 1 |
¡y2 |
+ z2 |
¢2 |
= 2yz |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
22 |
|
=p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
21 |
z = |
x2 ¡ y2 |
|
|
|
|
|
¡x2 + y2¢ |
2 = x2 ¡ y2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
24 |
z2 |
+ |
|
4 x2 + y2 |
|
|
|
x2 |
+ y2 = 4y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= 4 |
|
¡ |
+ |
|
|
|
¢ |
2 = 8xy |
|
|
|
||||||||||||||||
23 |
4z = x2¡+ y2 |
|
¢ |
|
|
x2 |
+ y2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
z2 = 2y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
25 |
x2 + y2 + z2 = 36; z 6 0 |
x2 + y2 = 16 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
26 |
x2 = y2 ¡ z2 |
|
|
|
|
y2 + z2 = 2z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
27 |
4z = x2 + y2; z 6 1 |
y2 = 3x2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
28 |
z = 6 ¡ 2x + 3y |
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
= 25xy |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y2 |
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
; z |
> 0 |
x |
|
y |
|
|
0; x |
|
¡ |
y = 0 |
|
||||||||||||||||||
29 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= 3 |
|
|
|
¡ + |
|
|
= |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
30 |
2z = x2 ¡ y2 |
|
|
|
|
x2 + y2 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
15
ЗАДАЧА 9. Найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность ¾ двумя способами: 1) непосредственно, вычисляя потоки
через все гладкие куски поверхности ¾; 2) по теореме Остроград- ского-Гаусса.
N |
a |
¾ |
|
|
|
1 |
xi + y2j ¡ 2zk |
2z = 9 ¡ x2 ¡ y2; z = 0 |
2 |
xi ¡ yj + z2k |
z2 = x2 + y2; z = 4 |
3 |
xzi ¡ 2xyj + k |
x2 + y2 + z2 = 1; x > 0 |
4(1 ¡ y)xi + yzj + zk (2 ¡ z)2 = x2 + y2; z = 0
5 |
xyi + xyj ¡ xzk |
3z = 9 ¡ x2 ¡ y2; z = 0 |
6 |
3xi + 2yj + z2k |
x2 + y2 + z2 = 4; y > 0 |
7 |
2i ¡ 3y2j + zk |
4z = x2 + y2; z = 9 |
8 |
x2i ¡ z2j + y2k |
x2 + y2 + z2 = 9; x > 0 |
9 |
yz(i ¡ j) + 2xk |
y = 1 ¡ x2 ¡ z2; y = 0 |
10 |
i + 3j + 2z2k |
5 ¡ z = x2 + y2; z = ¡4 |
11 |
xi + 2yj + 3zk |
y2 = 4(x2 + z2); y = 6 |
12 |
xzi + 3yzj + xzk |
x2 + y2 + z2 = 16; z > 0 |
13 zi + y2j + xzk |
x2 = y2 + z2; x = 7 |
|
14 |
2xi ¡ 3j + yzk |
9z = x2 + y2; z = 1 |
15 |
x2j ¡ z2k |
3z = 4 ¡ x2 ¡ y2; z = 1 |
16 |
i ¡ yj + x(3 + z)k |
(2 ¡ x)2 = y2 + z2; x = 5 |
17 |
yi ¡ zj + xyzk |
x2 + y2 + z2 = 4; x 6 0 |
18 |
x2i ¡ 2yj + z2k |
y = x2 + z2; y = 8 |
19 yzi + xyj + zk |
y2 = x2 + z2; y = ¡2 |
|
20 |
3xyi + zyj + xzk |
z = 9(x2 + y2); z = 36 |
21 |
xi + y2j + z2k |
4z = 16 ¡ x2 ¡ y2; z = 3 |
22 |
xyzi + 2xyj ¡ z2k |
x2 + y2 + z2 = 9; y 6 0 |
23 |
¡xi + yj ¡ 2zk |
x2 = y2 + z2; x = ¡4 |
24 |
xi + 3y2j + 3z2k |
3y ¡ 2 = x2 + z2; y = 6 |
25 |
xzi + y2j + yzk |
z2 = 4(x2 + y2); z = 4 |
26 |
zi ¡ 3yj + xyzk |
y = 1 ¡ x2 ¡ z2; y = ¡3 |
27 |
xi + yj + 3xzk |
x2 + y2 + z2 = 16; z 6 0 |
28 |
xi ¡ 2yj + 8zk |
z = 25 ¡ x2 ¡ y2; z = 9 |
29 |
x2j + zk |
2z = 2 ¡ x2 ¡ y2; z = 0 |
30 x2i + yj + zk |
z = x2 + y2; z = 4 |
|
16
ЗАДАЧА 10. Найти циркуляцию векторного поля a по контуру ¡
двумя способами: 1) непосредственно, вычисляя линейный интеграл векторного поля по контуру ¡; 2) по теореме Стокса.
N |
a |
¡ |
|
|
|
1 zi ¡ yj + y2k |
x2 + y2 = 9 ¡ z; x = 0; y = 0; z = 0 (1 октант) |
|
23zi + y2j ¡ 2yk x2 + y2 = 4; x + y + z = 2
3 yzi ¡ x2j |
z2 = 2 ¡ x ¡ y; x = 0; y = 0; z = 0 (1 октант) |
4yi + xyj ¡ zk x + y + z = 2; x = 0; y = 0; z = 0
5yzi + xj + xzk x2 + y2 = 1; y = z
6 xy(i ¡ j) ¡ zk x2 + y2 = 1 ¡ z; x = 0; y = 0; z = 0 (1 октант)
7zi ¡ xyj + x2k x2 + z2 = 1; x = y + 1
8zi + x2j ¡ yk x + y + 2z = 4; x = 0; y = 0; z = 0
9y2i + zj ¡ xk x2 + z2 = 9; y = z + 1
10z2i + x2j ¡ yk 2x + 3y + z = 6; x = 0; y = 0; z = 0
11zyi + 2j + xk x2 = 1 ¡ y ¡ z; x = 0; y = 0; z = 0 (1 октант)
12zi ¡ 2xj + x2k x2 + y2 = 4; x + y + z = 3
13y2i ¡ z2j + zk x + 2y + z = 3; x = 0; y = 0; z = 0
14zi + 2xj ¡ x2k y2 = 2 ¡ x ¡ z; x = 0; y = 0; z = 0 (1 октант)
152zi ¡ 3yj ¡ x2k x2 + y2 = 9; x + y + z = 12
163zi + x2j + 2xk x2 + y2 = 1; z = y ¡ 1
17xz(i + j + k) 2x + y + 3z = 6; x = 0; y = 0; z = 0
18yi ¡ xj + xk x2 + z2 = 4 ¡ y; x = 0; y = 0; z = 0 (1 октант)
19yzi + 2xj ¡ yk x2 + y2 = 4; z = x + 2
20xzi ¡ zj + 2yk y2 + z2 = 16; x + y + z = 4
21yi ¡ zj + xk x2 + y2 + z2 = 9; x = 0; y = 0; z = 0 (1 октант)
222zi + yzj ¡ xk x = y2 + z2; x = 9
234yi ¡ z2j + xk x2 + z2 = 1; x = y
243xi + 2xzj ¡ yk x + 2y + z = 4; x = 0; y = 0; z = 0
252xyi ¡ 3xj ¡ y2k x2 + y2 = 4 ¡ z; x = 0; y = 0; z = 0 (1 октант)
26¡zi + yj + 2xk x2 + y2 + z2 = 1; x = 0; y = 0; z = 0 (1 октант)
27 yj + 2k |
x2 + y2 + z2 = 16; z = y |
282zi ¡ x2j + 3xk x2 + y2 = 9 ¡ z; x = 0; y = 0; z = 0 (1 октант)
29yi ¡ x2j + xk x2 + y2 = 4; z = y + 2
30xy(i + j + k) x + 2y + z = 4; x = 0; y = 0; z = 0
17
КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН УПРАЖНЕНИЙ
1 3. Неопределенный интеграл. Вычисление интегралов следующих типов:
Z |
|
Ax + B |
|
|
|
|
Z |
|
Pn(x) |
|
Z |
R(x; xm=n; xp=q)dx; |
|||
|
|
dx; ® = 1=2; 1; |
|
|
dx; |
||||||||||
|
(ax2 + bx + c)® |
|
Rn(x) |
||||||||||||
|
|
Z |
|
sin ax |
= |
Z |
|
|
< |
ln ax |
= |
|
|||
|
|
< eax |
|
|
|
: : : |
|
|
|||||||
|
|
Pn(x) |
8 cos ax |
9dx; |
|
|
Pn(x) |
8 arctg ax |
9dx; |
|
|||||
|
|
|
: |
|
; p |
|
q |
|
|
: |
|
|
; |
¾dx: |
|
|
Z R(sin x; cos x)dx; |
Z sin x; cos |
|
|
|
Z |
|
|
sin bx |
||||||
|
|
xdx; |
sin ax ½ cos bx |
||||||||||||
4.Определенный интеграл.
5.Приложения определенного интеграла.
6.Контрольная работа.
7.Разбор ошибок контрольной работы. Несобственные интегралы. 8,9. Двойной интеграл.
10.Тройной интеграл (сферические координаты по усмотрению преподавателя).
11.Скалярные и векторные поля.
12.Криволинейный интеграл. Циркуляция.
13.Поток векторного поля.
14.Теоремы Остроградского-Гаусса и Стокса. 15,16. Прием типового расчета.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ)
1.Определение первообразной, теорема о множестве всех первообразных. Неопределенный интеграл. Свойство линейности.
2.Неопределенный интеграл. Теорема о замене переменной. Формула интегрирования по частям.
3.Общая схема интегрирования рациональных функций.
4.Интегрирование простейших дробей.
5.Интегрирование тригонометрических функций.
6.Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.
18
7.Интегрирование квадратичных иррациональностей. Тригонометрические подстановки.
8.Определенный интеграл: определение, геометрический и механический смысл. Достаточное условие существования.
9.Определенный интеграл: определение, свойства линейности и аддитивности.
10.Определенный интеграл: определение. Теоремы об интегрировании неравенств и об оценке.
11.Определенный интеграл: определение, теорема о среднем, ее геометрический смысл.
12.Теорема о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом.
13.Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
14.Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных и полярных координатах с помощью определенного интеграла.
15.Определение длины кривой. Вычисление длины кусочно-гладкой кривой.
16.Вычисление объема тела по площадям его плоских сечений. Объем тела вращения.
17.Вычисление площади поверхности вращения.
18.Несобственные интегралы от неограниченных функций. Примеры сходящихся и расходящихся интегралов.
19.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Примеры сходящихся и расходящихся интегралов.
20.Несобственные интегралы: признак сравнения.
21.Определение двойного интеграла, его геометрический и механический смысл. Достаточное условие существования.
22.Двойной интеграл: свойства линейности и аддитивности; переход от двойного интеграла к повторному.
23.Двойной интеграл: интегрирование неравенств, оценка интеграла, теорема о среднем.
24.Якобиан преобразования плоскости. Теорема о замене переменных в двойном интеграле.
25.Двойной интеграл в полярных координатах.
19
26.Геометрические и механические приложения двойного интеграла.
27.Определение тройного интеграла. Переход от тройного интеграла к повторному.
28.Тройной интеграл в цилиндрических координатах.
29.Определение криволинейного интеграла по длине дуги, его геометрический и механический смысл.
30.Криволинейный интеграл по длине дуги: способы вычисления.
31.Определение и свойства криволинейного интеграла по координатам, способы его вычисления.
32.Вычисление работы силового поля. Физический смысл интеграла по координатам.
33.Теорема Грина.
34.Условие независимости криволинейного интеграла по координатам от выбора пути интегрирования на плоскости.
35.Вычисление площади гладкой поверхности.
36.Определение интеграла первого рода по поверхности. Формулы для его вычисления.
37.Производная по направлению и градиент скалярного поля. Геометрический смысл градиента, его свойства.
38.Определение и свойства интегралов второго рода по поверхности, способы вычисления.
39.Теорема Гаусса-Остроградского. Физический смысл дивергенции.
40.Задача о вычислении количества жидкости, протекающей за единицу времени через данную поверхность.
41.Теорема Стокса, физический смысл ротора. Формула Грина как частный случай теоремы Стокса.
42.Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от выбора пути интегрирования в пространстве.
43.Определение и свойства потенциального поля.
Вопросы к зачетам и экзаменам могут быть уточнены и дополнены лектором.
20
ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
II семестр ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
ЗАДАЧА 1. Проверить полноту системы функций § = ffi; gjg, найти Dmin для функций fi; gj. Представить формулами над § è ôóíê-
циональными схемами над § функции 0; 1; :; &; _; hk. Выбор варианта. Даны функции
f0 |
= (0101 1010) |
f1 |
= (0110 0110) |
f2 |
= (1001 1001) |
g0 |
= (1110 1000) |
g1 |
= (1011 0010) |
g2 |
= (1101 0100) |
h0 = (1000) |
h1 = (0100) |
h2 = (0010) |
|||
Номер студента в журнале группы N представляется в троичной системе счисления N = a3 ¢ 32 + a2 ¢ 3 + a1 = (a3a2a1)3. Здесь 0 6 ai 6
2. Для варианта N выбираются функции fa3; ga2; ha1; например, в
N = 19 = 2 ¢ 32 + 0 ¢ 3 + 1 = (201)3 выбираются функции
ЗАДАЧА 2. Найти Dñîêð; Dÿ, âñå Dmin для Карно и Квайна.
Выбор варианта. Даны функции и подстановки
|
|
p |
q |
r |
|
Spqr |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
2 |
4 |
1 |
3 |
f00 |
= (1010 1100 1011 0100) |
0 |
0 |
1 |
4 |
3 |
2 |
1 |
f01 |
= (1100 1010 1101 0010) |
0 |
1 |
0 |
1 |
3 |
2 |
4 |
f10 |
= (1010 0011 1110 0001) |
0 |
1 |
1 |
3 |
1 |
4 |
2 |
f11 |
= (0101 1100 0111 1000) |
1 |
0 |
0 |
3 |
4 |
1 |
2 |
|
|
1 |
0 |
1 |
4 |
2 |
3 |
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
2 |
1 |
4 |
3 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер студента в журнале N представляется в двоичной системе
счисления N = a5 ¢ 24 + a4 ¢ 23 + a3 ¢ 22 + a2 ¢ 2 + a1 = (a5a4a3a2a1)2.
Берется функция fa5a4 и подстановка Sa3a2a1 = (ijkl). Для получе- ния функции f первая четверка функции fa5a4 ставится на место i, вторая на место j, третья на место k, четвертая на место l.