§ 3. Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядков

Определение обратной матрицы

Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков

1. Определение обратной матрицы

Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если ее определи­тель не равен нулю.

Если А — квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая, будучи умноженной на А (как справа, так и слева), дает единичную матрицу.

Обозначив обратную матрицу через А^-1, запишем

А^-1А = АА^-1 = Е.

Если обратная матрица А^-1 существует, то матрица А назы­вается обратимой. Операция вычисления обратной матрицы при условии, что она существует, называется обращением матрицы. Нахождение обратной матрицы имеет большое значение при решении систем линейных уравнений и в вычислительных мето­дах линейного программирования.

Теорема. Для того чтобы квадратная матрица А имела обрат­ную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырож­денной, т. е. чтобы ее определитель был отличен от нуля.

При условии D = | A | ≠ 0 обратная матрица находится по формуле

А^-1 = .

2. Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков

Для нахождения обратной матрицы используют следующую схему:

1°. Находят определитель матрицы А.

2°. Находят алгебраические дополнения всех элементов а_ij матрицы А и записывают новую матрицу.

3°. Меняют местами столбцы полученной матрицы (транспо­нируют матрицу).

4°. Умножают полученную матрицу на 1/D.

1. Найти матрицу, обратную матрице А = . Р е ш е н и е. 10. Находим определитель матрицы А: D = Так как D ≠ 0, то данная матрица является невырожденной и, следовательно, существует обратная матрица. 20. Найдем алгебраические дополнения каждого элемента данной матрицы: А11 = (-1)1+1 · 3 = 3; А12 = (-1)1+2 · 4 = -4; А21 = (-1)2+1 · (-1) = 1; А22 = (-1)2+2 · 2 = 2. Тогда получим матрицу . 30. Транспонируем эту матрицу: . 40. Умножим полученную матрицу на 1/D, т.е. 1/10: А-1 = . Проверим полученный ответ. Выполнив умножение АА-1, находим = Е.

§ 4. Решение простейших матричных уравнений

Простейшие матричные уравнения и их решение

Решение системы линейных уравнений в матричной форме

1. Простейшие матричные уравнения и их решения

Пусть дана система уравнений

Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неиз­вестных:

А = .

Свободные члены и неизвестные можно записать в виде матриц-столбцов:

В = , X = .

Тогда, используя правило умножения матриц, эту систему урав­нений можно записать так:

= или АХ = В.

Это равенство называется простейшим матричным уравне­нием.

Такое уравнение решается следующим образом. Пусть матри­ца А — невырожденная (D ≠ 0), тогда существует обратная матрица А^-1. Умножив на нее обе части матричного уравнения, имеем

А^-1(АХ) = А^-1В.

Используя сочетательный закон умножения, перепишем это ра­венство в виде

(А^-1А)Х = А^-1В.

Поскольку А^-1А = Е и ЕХ = Х, находим

Х = А^-1В.

Таким образом, чтобы решить матричное уравнение, нужно:

1°. Найти обратную матрицу А^-1.

2°. Найти произведение обратной матрицы А^-1 на матрицу-столбец свободных членов В, т. е. А^-1В.

3°. Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

1. Решить матричное уравнение Р е ш е н и е. 10. Будем искать обратную матрицу А-1. Найдем определитель матрицы А: D = ≠ 0. Вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А: А11 = 4; А12 = - 3; А21 = - 2; А22 = 1. Запишем матрицу , транспонируем ее: . Учитывая, что 1/ D = - 1 / 2, запишем обратную матрицу: А-1 = . 20. Умножая матрицу А-1 на матрицу В: Х = А-1 В = . 30. Так как , то по определению равных матриц получим х1 = 3, х2 = 2.