Краевое государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Краевой колледж предпринимательства

Учебное пособие

для выполнения практических работ по "Математике"

раздел "Линейная алгебра”

Пермь 2009

"Линейная алгебра”. Учебное пособие для выполнения практических работ по курсу "Элементы высшей математики" для студентов всех специальностей.

Разработал: преподаватель А.С. Ремизова

Пояснительная записка

Учебное пособие представляет собой руководство к решению задач раздела "Линейная алгебра" курса "Элементы высшей математики" для студентов специальностей СПО на базе среднего (полного) общего образования.

Основное назначение пособия – помочь студенту самостоятельно, без помощи преподавателя изучить приемы решения основных задач, закрепить полученные навыки при выполнении практических работ и подготовиться к зачету (экзамену) по данному разделу.

§ 1. Определение матрицы

Действия над матрицами и векторами.

Матрицы

Виды матриц. Векторы

Равенство матриц

Линейные операции над матрицами

Умножение матриц

Свойства умножения матриц

1. Матрицы

Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. Для записи матрицы используется следующее обозначение:

Для любого элемента a_ij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j – номер столбца. Сокращенно прямоугольную матрицу типа m×n можно записать так: А = (a_ij), где i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.

2. Виды матриц. Векторы

Если число строк матрицы не равно числу столбцов (m ≠ n), то матрица называется прямоугольной. Таковы, например, матрицы

А = , В = .

Если число строк равно числу столбцов (m = n), то матрица называется квадратной. Например, квадратными являются матрицы

А = , В = .

Число строк или столбцов квадратной матрицы называется ее порядком. Так, в последнем примере порядок матрицы А равен 2, а порядок матрицы В равен 4.

Рассмотрим квадратную матрицу порядка п:

А = .

Диагональ, содержащую элементы а₁₁, а₂₂, …, а_пп, будем называть главной, а диагональ, содержащую элементы а_1п, а_2,п-1, …, а_п1, - побочной (или вспомогательной).

Среди квадратных матриц выделим матрицы, у которых отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали:

А = .

Такие матрицы называются диагональными; например, матрицы

А = , В =

являются диагональными матрицами второго и четвертого порядка.

Если у диагональной матрицы все числа главной диагонали равны между собой, т.е. а₁₁ = а₂₂ = … = а_пп, то такая диагональная матрица называется скалярной. Если в скалярной матрице все числа главной диагонали равны единице, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

Е = .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается так:

О = .

В прямоугольной матрице типа т×п возможен случай, когда т = 1. При этом получается матрица-строка:

А = (а₁₁ а₁₂ … а_1п).

В случае, когда п = 1, получаем матрицу-столбец:

В = .

Такие матрицы- строки и матрицы-столбцы иначе будем называть векторами.

3. Равенство матриц

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковое число строк т и одинаковое число столбцов п и их соответствующие элементы равны: a_ij = b_ij.

Так, матрицы А = и В = равны, если a₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, a₁₃ = b₁₃, a₂₁ = b₂₁, a₂₂ = b_22, a₂₃ = b₂₃.

Равные матрицы обязательно имеют одно и то же строение: либо обе они прямоугольные типа т×п , либо квадратные одного и того же порядка п.

Если в матрице типа т×п, имеющей вид

А =

переставить строки со столбцами, получим матрицу типа п×т, которую будем называть транспонированной матрицей:

А^Т = .

В том случае, когда матрица состоит из одной строки (матрица-строка), т.е.

В = (b₁ b₂ … b_n),

транспонированная матрица является матрицей-столбцом:

В^Т = .