5. Расчет цикломатического числа λ(g) графа g

Рассчитаем цикломатическое число графа G, т.е. наименьшее число ребер, удаление которых приведет к графу без циклов и петель.

Расчет выполним по формуле:

В качестве примера удалим на графе G пять ребер. Получим граф на рисунке 1.9.

6

10

3

1

13

11

7

12

8

4

9

Рисунок 1.9 — Граф без циклов и петель

5. Расчет хроматического числа γ(g) графа g

Для расчета хроматического числа будем использовать два способа: 1) раскраска вручную с применение оценочных соотношений; 2) раскраска с применением алгоритма.

Для раскраски вручную воспользуемся двумя оценочными соотношениями. Одно из них задает левую границу для γ(G), min возможное значение γ(G), т.е. γ_min(G). Другое оценочное соотношение задает правую границу для γ(G), max необходимое значение γ(G), т.е. γ_max(G): = 5.

Н

6

10

ачинаем проверку с вычисления γ_min(G). Поскольку в графе G есть цикл нечетной длины, пробуем раскрасить граф тремя красками (рисунок 1.10).

13

Рисунок 1.10 – Раскраска графа G синей, желтой и красной красками

Вывод: трех красок, т.е. γ_min(G) = 3 оказалось достаточно: .

5. . Расчет плотности ρ(g) графа g

H	6	7	8	9	10	11	12	13
6	0	1	0	0	1	0	0	0
7	1	0	1	0	1	0	1	0
8	0	1	0	1	0	0	1	0
9	0	0	1	0	0	0	1	0
10	1	1	0	0	0	0	0	1
11	0	0	0	0	0	0	1	1
12	0	1	1	1	0	1	0	0
13	0	0	0	0	1	1	0	0

Рассчитаем плотность графа G, т.е. наибольшее число вершин подграфа графа G, между всеми вершинами которого задано отношение смежности.

Получим матрицы смежности ||H|| и достижимости ||Q|| графа G (рисунок 1.16).

Рисунок 1.16 — Матрицы ||H|| и ||Q|| графа G

В матрице || Q|| сформируем блоки, используя метод визуального анализа, перестановок строк (т.е. стоки меняются местами) и перестановок столбцов (т.е. столбцы меняются местами). В итоге получим матрицу ||Q|| на рисунке 1.17.

Q	6	7	10	9	8	11	12	13
6	1	1	1	0	0	0	0	0
7	1	1	1	0	1	0	1	0
10	1	1	1	0	0	0	0	1
9	0	0	0	1	1	0	1	0
8	0	1	0	1	1	0	1	0
11	0	0	0	0	0	1	1	1
12	0	1	0	1	1	1	1	0
13	0	0	1	0	0	1	0	1

Рисунок 1.17 — Матрица || Q || с три выделенными блоками

6

10

Анализ матрицы || Q || на рисунке 1.17 показывает, что поскольку число блоков равно четырем, то имеем четыре полных подграфа G (1—ый блок: 2х2, 2—ой блок: 3х3, 3—ий блок: 3х3, 4-ый). Иными словами, |Х`<sub>1</sub>|=3, |Х`₂|=2, |Х`₃|=2, (рисунок 1.18).

13

13

11

7

12

8

9

Рисунок 1.18 — три подграфов графа G

Обозначения: пунктиром выделены полные подграфы графа G.

Таким образом, имеем: .