Численные метода (Вычислительная математика) / ЧИСЛЕН~1
.DOC
Министерство высшего специального образования.
Московский Институт радиотехники,
электроники и автоматики ТУ.
Контрольная работа.
Численные методы.
Вариант № 12.
Факультет ВАВТ
Группа ВТ-2-99
Ст.б. № С-991123
Выполнил Смирнов Г.О.
Москва 2002 год.
Погрешности вычислений –2.
Вычислить значение Z и оценить абсолютную и относительную погрешности результата, считая, что значения исходных данных получены в результате округления. Записать результат с учётом погрешности.
Z
=
8.3(8.3-3.5)(8.3-1.7)
a=8.3 0.05 a=0.05
b=3.5 0.05 b=0.05
c=1.70.05 c=0.05
∆Z=|0.5|*0.05+|8.7|*0.05+|12.0|*0.05=1.06
Z=16.2±1.06
Z=161
Решение систем линейных алгебраических уравнений.
Решить систему линейных алгебраических уравнений Ах=b
а) методом Гаусса с выбором главного элемента
б) методом простых итераций
в) методом Зайделя
Решения найти с точностью ε=10-3
Метод Гаусса.
х1=-0,74005 х2=1,34355 х3=4,95064 х4=-9,11467
Проверка:
Метод итераций.
|
k |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
E1 |
E2 |
E3 |
E4 |
b1 |
b2 |
b3 |
b4 |
|
0 |
-0,1875 |
2,07 |
2,29245 |
-9,053333 |
0,080357 |
0,887143 |
0,679331 |
3,879999 |
58,569166 |
139,717545 |
1,05198 |
-24,038108 |
|
1 |
-0,594162 |
1,211542 |
3,451069 |
-8,792164 |
0,174284 |
0,367911 |
0,496551 |
0,111930 |
38,844349 |
132,066013 |
-0,86578 |
-51,040078 |
|
2 |
-0,601291 |
1,339324 |
3,336009 |
-9,041097 |
0,003055 |
0,054764 |
0,049311 |
0,106686 |
41,862226 |
136,298419 |
-0,88213 |
-47,933749 |
|
3 |
-0,605013 |
1,316213 |
3,367476 |
-9,007870 |
0,001595 |
0,009905 |
0,013486 |
0,014240 |
41,314933 |
135,699211 |
-0,89897 |
-48,709519 |
|
4 |
-0,605228 |
1,320466 |
3,362350 |
-9,014590 |
0,000092 |
0,001823 |
0,002197 |
0,002880 |
41,412366 |
135,817898 |
-0,89992 |
-48,582932 |
|
5 |
-0,605244 |
1,319848 |
3,363195 |
-9,013398 |
0,000007 |
0,000265 |
0,000362 |
0,000511 |
41,397536 |
135,797312 |
-0,89997 |
-48,604252 |
|
6 |
-0,605250 |
1,319971 |
3,363035 |
-9,013578 |
0,000003 |
0,000053 |
0,000069 |
0,000077 |
41,400330 |
135,800542 |
-0,9 |
-48,600368 |
|
7 |
-0,605249 |
1,319955 |
3,363057 |
-9,013542 |
0,000000 |
0,000007 |
0,000010 |
0,000015 |
41,399932 |
135,799940 |
-0,9 |
-48,600943 |
Зейделя
Метод
|
k |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
E1 |
E2 |
E3 |
E4 |
b1 |
b2 |
b3 |
b4 |
|
0 |
-0,1875 |
2,07 |
2,29245 |
-9,053333 |
0,080357 |
0,887143 |
0,679331 |
3,879999 |
58,569166 |
139,717545 |
1,05198 |
-24,038108 |
|
1 |
-0,594162 |
1,313207 |
3,370505 |
-9,015393 |
0,174284 |
0,324340 |
0,462023 |
0,016260 |
41,324120 |
135,800012 |
-0,84717 |
-48,707082 |
|
2 |
-0,605167 |
1,319752 |
3,363313 |
-9,013605 |
0,004716 |
0,002805 |
0,003082 |
0,000766 |
41,396423 |
135,800012 |
-0,8996 |
-48,605854 |
|
3 |
-0,605250 |
1,319952 |
3,363061 |
-9,013548 |
0,000035 |
0,000085 |
0,000108 |
0,000024 |
41,399887 |
135,800012 |
-0,9 |
-48,601005 |
|
4 |
-0,605249 |
1,319958 |
3,363053 |
-9,013546 |
0,000000 |
0,000002 |
0,000003 |
0,000001 |
41,399997 |
135,800012 |
-0,9 |
-48,600851 |
|
5 |
-0,605249 |
1,319958 |
3,363053 |
-9,013546 |
0,000000 |
0,000000 |
0,000000 |
0,000000 |
41,400000 |
135,800012 |
-0,9 |
-48,600847 |
|
6 |
-0,605249 |
1,319958 |
3,363053 |
-9,013546 |
0,000000 |
0,000000 |
0,000000 |
0,000000 |
41,400000 |
135,800012 |
-0,9 |
-48,600846 |
|
7 |
-0,605249 |
1,319958 |
3,363053 |
-9,013546 |
0,000000 |
0,000000 |
0,000000 |
0,000000 |
41,400000 |
135,800012 |
-0,9 |
-48,600846 |
Погрешность вычислений-1.
В
ычислить
по схеме Горнера значение многочлена
. Оценить абсолютную и относительную
погрешности результата. Записать
результат погрешности. Коэффициенты многочлена заданы точно,
( с округлением ).
Нелинейные уравнения.
Методом бисекции найти с точностью =0.01 решение нелинейного уравнения на отрезке [a,b]. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итераций ( с оценкой достаточного числа итераций ) и Ньютона с точностью =0.0004.
Метод
бисекций.
(b-a)/2 c=(a+b)/2
|
a |
f(a) |
c |
f(с) |
b |
f(b) |
(b-a)/2 >= |
|
0,5 |
0,686794 |
1 |
-0,26495 |
1,5 |
-1,98404 |
0,5> |
|
0,5 |
0,686794 |
0,75 |
0,292888 |
1 |
-0,26495 |
0,25> |
|
0,75 |
0,292888 |
0,875 |
0,034998 |
1 |
-0,26495 |
0,125> |
|
0,875 |
0,034998 |
0,9375 |
-0,10962 |
1 |
-0,26495 |
0,0625> |
|
0,875 |
0,034998 |
0,90625 |
-0,03599 |
0,9375 |
-0,10962 |
0,03125> |
|
0,875 |
0,034998 |
0,890625 |
-0,00016 |
0,90625 |
-0,03599 |
0,0156> |
|
0,875 |
|
0,8828125 |
|
0,890625 |
|
0,0078125< |
X=0.880.01
Метод простой итерации.
|
n |
|
|
ε |
|
0 |
0,882813 |
0,892668 |
0,014799 |
|
1 |
0,892668 |
0,889969 |
0,001354 |
|
2 |
0,889969 |
0,890713 |
0,000125 |
|
3 |
0,890713 |
0,890509 |
1,14E-05 |
|
4 |
0,890509 |
0,890565 |
1,05E-06 |
|
5 |
0,890565 |
0,890549 |
9,67E-08 |
q=0.334
0.0099≤0.2549
n=5
Метод
Ньютона.
|
|
|
|
- |
|
||||
|
0,896474 |
0,890573 |
-0,013496 |
-2,287228 |
-0,005901 |
||||
|
0,886082 |
0,890565 |
0,010128 |
-2,259169 |
0,004483 |
||||
|
0,893962 |
0,890560 |
-0,007759 |
-2,280438 |
-0,003403 |
||||
|
0,887972 |
0,890557 |
0,005852 |
-2,264267 |
0,002584 |
||||
|
0,892517 |
0,890555 |
-0,004466 |
-2,276533 |
-0,001962 |
||||
|
0,889064 |
0,890554 |
0,003378 |
-2,267212 |
0,001490 |
||||
|
0,891685 |
0,890553 |
-0,002573 |
-2,274286 |
-0,001131 |
||||
|
0,889694 |
0,890553 |
0,001949 |
-2,268912 |
0,000859 |
||||
|
0,891205 |
0,890553 |
-0,001482 |
-2,272991 |
-0,000652 |
||||
|
0,890058 |
0,890553 |
0,001124 |
-2,269893 |
0,000495 |
||||
|
0,890929 |
0,890553 |
-0,000854 |
-2,272245 |
-0,000376 |
||||
|
0,890267 |
0,890553 |
0,000648 |
-2,270459 |
0,000286 |
||||
|
0,890770 |
0,890553 |
-0,000493 |
-2,271815 |
-0,000217 |
||||
|
0,890388 |
0,890553 |
0,000374 |
-2,270785 |
0,000165 |
||||
|
0,890678 |
0,890553 |
-0,000284 |
-2,271567 |
-0,000125 |
||||
|
0,890458 |
0,890553 |
0,000216 |
-2,270973 |
0,000095 |
||||
|
0,890625 |
0,890553 |
-0,000164 |
-2,271424 |
-0,000072 |
||||
|
0,890498 |
0,890553 |
0,000124 |
-2,271082 |
0,000055 |
2,250359
Одномерная оптимизация.
Методом золотого сечения найти с точностью ε=10-1 минимум функции. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методами бисекции с точностью ε=10-3 и Ньютона с точностью ε=10-4.
Метод золотого сечения.
a=-3.5
b=-2.5
1-k=0.382
|
n |
a |
b |
X1 |
X2 |
F(X1) |
F(X2) |
E |
|
1 |
-3,500000 |
-2,500000 |
-3,118034 |
-2,881966 |
-39,515382 |
-38,121997 |
0,381966 |
|
2 |
-3,500000 |
-2,881966 |
-3,263932 |
-3,118034 |
-39,544459 |
-39,515382 |
0,236068 |
|
3 |
-3,500000 |
-3,118034 |
-3,354102 |
-3,263932 |
-39,168042 |
-39,544459 |
0,145898 |
|
4 |
-3,500000 |
-3,263932 |
-3,409830 |
-3,354102 |
-38,765433 |
-39,168042 |
0,090170 |