Численные метода (Вычислительная математика) / ЧИСЛЕН~1

X=-3.340.09

Метод бисекции.

k<<1

k=10^-5 a₀=-3.354102 b₀=-3.118034

a	b	c	f'(c)	F(c)	E
-3,354102	-3,118034	-3,236068	-1,360681	-39,596748	0,118035
-3,236068	-3,118034	-3,177051	0,716186	-39,614961	0,029509
-3,236068	-3,177051	-3,206560	-0,301803	-39,621175	0,007377
-3,206560	-3,177051	-3,191805	0,212264	-39,621823	0,001844
-3,206560	-3,191805	-3,199182	-0,043497	-39,622447	0,000461

X=-3.1990.001

Метод Ньютона.

x₀=-3.118

n	x	F(x)	F'(x)	F"(x)	p	ε
0	-3,118000	-39,515293	2,633024	31,123088	-0,084600	0,084600
1	-3,202600	-39,622095	-0,162858	35,001777	0,004653	0,004653
2	-3,197947	-39,622474	-0,000507	34,783993	1,46E-05	1,457E-05
3	-3,197933	-39,622474	0,000000	34,783312	1,43E-10	1,427E-10

Многомерная оптимизация.

Методом Ньютона найти с точностью ε=10^-4 минимум функции.

dx=D_x/D dy=D_y/D

x	y	fx	fy	fxx	fyy	D	Dx	Dy	dx	dy	f	Ex	Ey
1	1	14	12	20	16	304	-176	-184	-0,57895	-0,60526	22	0,578947	0,605263
0,421053	0,394737	3,245954	3,509185	10,12742	5,869806	43,44601	-5,01638	-22,5552	-0,11546	-0,51915	12,899199	0,115462	-0,51915
0,30559	-0,12442	0,061202	0,716987	9,120625	4,185757	22,17671	2,61177	-6,29456	0,117771	-0,28384	11,650198	0,117771	-0,28384
0,423361	-0,40825	0,057396	-0,21175	10,15081	6,000056	44,90546	-1,19138	2,37901	-0,02653	0,052978	11,572108	0,026531	0,052978
0,39683	-0,35528	0,003501	-0,01316	9,889692	5,514651	38,5382	-0,07193	0,144107	-0,00187	0,003739	11,565471	0,001866	0,003739
0,394964	-0,35154	1,66E-05	-5,9E-05	9,871957	5,482935	38,1273	-0,00033	0,000653	-8,6E-06	1,71E-05	11,565443	8,61E-06	1,71E-05
0,394955	-0,35152	3,52E-10	-1,2E-09	9,871876	5,482791	38,12543	-6,9E-09	1,36E-08	-1,8E-10	3,57E-10	11,565443	0,394955	0,351519

Решить систему нелинейных уравнений методом Ньютона

с точностью ε=10^-4 .

f=2x²+4y²-12 f_x=4x f_y=8y

g=xy+2 g_x=y g_y=x

D=f_x*g_y-g_x*f_y D_x= -f*g_y+g*f_y D_y=f_x*(-g)-g_x*(-f) dx=D_x/D dy=D_y/D

x	y	dx	dy	D	Dx	Dy	Ex	Ey	f(x,y)	g(x,y)
-2,500000	0,5	0,293478	0,380435	23	6,75	8,75	0,293478	0,380435	13,5	-1,25
-2,206522	0,880435	0,169733	0,121625	13,27363	2,252972	1,614405	0,169733	0,121625	12,83814	-1,942698
-2,036789	1,00206	0,036212	-0,00327	8,561045	0,310011	-0,02802	0,036212	0,003273	12,31351	-2,040984
-2,000577	0,998787	0,000575	0,001814	8,028632	0,004614	0,014568	0,000575	0,001814	11,99492	-1,99815
-2,000002	1,000601	1,97E-06	-0,0009	7,990412	1,57E-05	-0,00722	1,97E-06	0,000903	12,00483	-2,001205
-2,000000	0,999698	2,7E-07	0,000452	8,004831	2,16E-06	0,00362	2,7E-07	0,000452	11,99759	-1,999397
-2,000000	1,000151	6,84E-08	-0,00023	7,997592	5,47E-07	-0,00181	6,84E-08	0,000226	12,00121	-2,000301
-2,000000	0,999925	1,7E-08	0,000113	8,001206	1,36E-07	0,000904	1,7E-08	0,000113	11,9994	-1,999849
-2,000000	1,000038	4,26E-09	-5,6E-05	7,999398	3,41E-08	-0,00045	0,000000	5,65E-05	12,0003	-2,000075
-2,000000	0,999981	1,06E-09	2,82E-05	8,000301	8,51E-09	0,000226	2,000000	0,999981	11,99985	-1,999962

Интерполяция-1.

Используя интерполяционный многочлен Лагранжа, приблизить функцию, заданную таблично.

Вычислить приближённое значение функции в точке х₀

( вычисления вести с четырьмя знаками после запятой ).

X	6	7	8	9
y	0	7	4	1

X₀=6.75

Метод наименьших квадратов.

Применяя метод наименьших квадратов, приблизить её многочленами 1^й и 2^й степени. Для каждого приближения определить величину среднеквадратичной погрешности, построить график.

Xi	-2	-1	0	1	2
Yi	11.0	6.5	3.2	1.8	3.5
	11.18286	6.14857	3.1571	2.20857	3.30286
y=-1.97x+5.2	9.14	7.17	5.2	3.23	1.26

Многочлен 2^й степени.

Q (x,a,b,c)=ax²+bx+c

=0,12076

Многочлен 1^й степени.

Q(x,b,c)=bx+c

b=-1.97 c=5.2 y=f(x)=-1.97x+5.2 =0.77385

Численное интегрирование.

Вычислить интеграл от многочлена P₅(x) в пределах от 1.0 до 2.2 с шагом h=0.2 , используя формулы:

а) центральных прямоугольников;

б) трапеций;

в) Симпсона.

Оценить погрешности результатов. Проверить справедливости оценок, сравнив полученные приближённые значения интеграла с точным значением, вычисленным по формуле Ньютона-Лейбница.

P₅(x)=x⁵+2x⁴+2x³+3x²+2x+3

Формула Ньютона-Лейбница.

Формула центральных прямоугольников.

Остаточный член ;

Оценка погрешности

M₂=361.96

Формула трапеций.

Остаточный член ;

Оценка погрешности

M₂=361.96

Формула Симпсона.

Остаточный член ;

Оценка погрешности

M₄=312

Задача Коши.

Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка

y(a)=y_a

на отрезке [a,b] с шагом h=0.2, h=0.4 :

а) метод Эйлера ;

б) исправленным методом Эйлера ;

в) методом Эйлера-Коши

Оценить погрешность по правилу Рунге.

Найти точное решение задачи. Убедиться в правильности полученной оценки. Построить графики точного и приближённых решений.

Правило Рунге p –порядок точности

f(x,y)=-2y-x+12 a=1.2 b=2 y_a=5.1

Решение ОДУ

Метод Эйлера.

x_i=x_i-1+h y_i=y_i+h*f(x_i,y_i)

Правило Рунге

h=0.2

i	Xi	yi	yi(h/2)	f(Xi,yi)	(хi)	G~i	Gi
0	1,2	5,100000	5,160000	0,600000	5,100000	0,060000	0,060000
1	1,4	5,220000	5,236000	0,160000	5,181324	0,016000	0,054676
2	1,6	5,252000	5,241600	-0,104000	5,202869	0,010400	0,038731
3	1,8	5,231200	5,204960	-0,262400	5,184343	0,026240	0,020617
4	2	5,178720	5,142976	-0,357440	5,138957	0,035744	0,004019

h=0.4

i	Xi	yi	yi(h/2)	f(Xi,Yi)	(xi)	G~i	Gi
0	1,2	5,100000	5,220000	0,600000	5,100000	0,120000	0,120000
1	1,6	5,340000	5,284000	-0,280000	5,202869	0,056000	0,081131
2	2,0	5,228000	5,136800	-0,456000	5,138957	0,091200	0,002157

Исправленный метод Эйлера.

h=0.2

i	Xi	yi	yi(h/2)	f(Xi,yi)	(xi)	G~i	Gi
0	1,2	5,100000	5,149000	0,600000	5,100000	0,049000	0,049000
1	1,4	5,176000	5,193320	0,248000	5,181324	0,017320	0,011996
2	1,6	5,195680	5,191458	0,008640	5,202869	0,004222	0,011411
3	1,8	5,177062	5,158191	-0,154125	5,184343	0,018871	0,026152
4	2	5,132402	5,103570	-0,264805	5,138957	0,028832	0,035387