§1. Точки разрыва функции и их характер.

Командой >readlib(discont): подгрузить программу нахождения точек разрыва функции, а затем определить точки разрыва функции y=f(x) командой

>discont(f(x),x); {x₁, x₂, ... x_n} .

Если в фигурной скобке пусто, то точек разрыва нет, функция непрерывна.

Примеры.

>readlib(discont):

>discont(x^2/(x^4+1),x); { }

>discont((x^2+2*x–3)/abs(x^2+x),x); {–1, 0}

>discont(1/sin(Pi/x),x); {0, 1/_Z1~} , _Z1~ – целые числа

>discont(tan(x)/x,x); {0, _Z2+/2}, _Z2~ – целые числа

Для выяснения характера разрыва в найденной особой точке х=а следует найти в этой точке односторонние пределы командами

>limit(f(x),x=a,left); A

>limit(f(x),x=a,right); B

Возможны случаи:

• «А» равно конечному числу (предел существует).

• «А» равно  либо –  (существует бесконечный предел).

• A= undefined (предел не существует, функция неограничена в окрестности точки а).

• А= m .. n (предел не существует, значения функции при подходе х к точке а колеблются от m до n).

Характеристика точек разрыва.

1. Величины А и В конечны и равны: УСТРАНИМЫЙ РАЗРЫВ;

2. Величины А и В конечны и различны: РАЗРЫВ ПЕРВОГО РОДА (скачком);

3. Хотя бы один из односторонних пределов не существует либо равен бесконечности: РАЗРЫВ ВТОРОГО РОДА.

Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию .

> readlib(discont):

> F:= abs(x^2–4)/ (x^2–x–2):

> discont(F,x); {–1, 2}

> limit(F,x= –1,left); 

> limit(F,x= –1,right); – 

> limit(F,x=2,left); – 4/3

> limit(F,x=2,right); 4/3

Вывод: х = –1 точка разрыва 2-го рода,

х = 2 точка разрыва 1-го рода (скачком).

Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию у=ехр(1/х)

> readlib(discont):

> F:= exp(1/x):

> discont(F,x); {0}

> limit(F,x= 0,left); 0

> limit(F,x= 0,right); 

Вывод: х = 0 точка разрыва 2-го рода.

§2. Графики функций. Элементарные свойства функций.

График функции y=f(x) на отрезке [a, b] строится командой

>plot(f(x),x=a..b); или >plot(f(x),x=a..b,color=black); (график черного цвета).

Несколько графиков на одном и том же отрезке строятся командой

>plot({f(x),g(x),h(x)},x=a..b);

Если некоторый участок графика хочется рассмотреть подробней, то следует определить на глаз границы этого участка по иксу [p, q] и по игреку [m, n] и применить команду

>plot(f(x),x=p..q,y=m..n);

Ограничение по игреку следует использовать в обязательном порядке при построении графиков функций, имеющих бесконечные разрывы 2-го рода.

Пример. График рассмотренной в предыдущем параграфе функции

>plot(abs(x^2–4)/ (x^2–x–2),x= – 4..3,y= – 3..2);

После построения графика можно определить координаты интересующих нас точек (например, точек пересечения с осями, точек экстремума и т.п.). Для этого достаточно «кликнуть» по интересующей нас точке, и на экране появятся её координаты.

По построенному графику можно определить элементарные свойства функции:

ОГРАНИЧЕННОСТЬ. Функция ограничена сверху в области определения, если её график не поднимается выше некоторой горизонтальной прямой у=В («потолок» функции) ; функция ограничена снизу в области определения, если её график не опускается ниже некоторой горизонтальной прямой у=А («пол» функции).

ЗНАК. Функция положительна там, где её график расположен выше оси Х; функция отрицательна там, где её график ниже оси Х .

НЕПРЕРЫВНОСТЬ. Функция непрерывна там, где её график можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

М ОНОТОННОСТЬ. Функция возрастает там, где график «идет в гору» ; функция убывает там, где график «идет под гору» .

Перед построением графика функции y=f(x) полезно наряду с исследованием точек разрыва попытаться найти при помощи одной из команд

>limit(f(x),x=infinity); >limit(f(x),x= – infinity); >limit(f(x),x=infinity, real);

Если какой-нибудь из этих предел существует, то существует горизонтальная асимптота y=h , которую также следует включить в график функции по команде

>plot({h,f(x)},x=a..b);