§10. Операционное исчисление.
Команды операционного исчисления начинают работать только после подгрузки соответствующего пакета командой
>with(inttrans):
В дальнейшем будем считать, что этот пакет подгружен.
Нахождение изображения по оригиналу.
Изображение F(p) оригинала f(t) находится по команде
>laplace(f(t),t,p); F(p).
В качестве оригиналов можно брать функцию Хевисайда (t–а) (в пакете MAPLE функция Хевисайда (t) обозначается через Heаviside(t) ), функции exp(at+b), sin(at+b), cos(at+b) , (at+b)n , а также их произведения и линейные комбинации. Кроме того, MAPLE умеет находить изображения от производной и свертки.
Пример 1. Найти изображение оригинала f(t)=et cost .
>F(p)=laplace(exp(t)*cos(t),t,p);
.
Пример 2. Найти изображение оригинала f(t)= (t–2)sin(t–2) .
>F(p)=laplace(Heaviside(t–2)*sin(t–2),t,p);
.
Пример 3. Найти изображение свертки f(t)=exp(t)*cos(t) .
>F(p)=laplace(int(exp(t–z)*cos(z),z=0..t),t,p);
Нахождение оригинала по изображению.
Нахождение оригинала f(t) по изображению F(p) производится по команде
>invlaplace(F(p),p,t); f(t) .
Пример 1. Найти оригинал
для изображения
.
>f(t)=invlaplace(1/(p^3-3*p^2+4*p-2),p,t); f(t)=et–etcost .
Пример 2. Найти оригинал
для изображения
.
>f(t)=invlaplace((exp(–p)+1)/(p–2),p,t); f(t)=Heaviside(t–1)e2 t–2+e2 t .
Задача Коши для линейных дифференциальных уравнений.
Пример. Решить задачу Коши y”+y’–2y=3et , y(0)=3 , y’(0)=1 .
>diff(y(t),t,t)+diff(y(t),t)–2*y(t)=3*exp(t); задание диф. уравнения,
>laplace(%,t,p); переход в этом уравнении к изображениям,
>subs(y(0)=3,D(y)(0)=1,%); учет начальных условий,
>solve(%,laplace(y(t),t,p)); нахождение изображения искомой функции,
>invlaplace(%,p,t); нахождение самой искомой функции , e–2t+tet+2et .
Задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений.
Решить задачу Коши
.
>sys:={diff(x(t),t)=a*x(t)+b*y(t),diff(y(t),t)=m*x(t)+n*y(t)}; задание системы,
>laplace(sys,t,p); преобразование Лапласа системы,
>subs(x(0)=A,y(0)=B,%); учет начальных условий,
>solve(%,{laplace(x(t),t,p), laplace(y(t),t,p)}); нахождение в явном виде изображений,
>invlaplace(%,p,t); нахождение оригиналов искомых функций.
График решения задачи Коши.
Пример. Построить график решения задачи Коши 1,3y’+y=6(t–1,3) , y(0)=5 .
>1.3*diff(y(t),t)+y(t)=6*Heaviside(t–1.3); задание диф. уравнения,
>laplace(%,t,p); переход в этом уравнении к изображениям,
>subs(y(0)=5,%); учет начального условия,
>solve(%,laplace(y(t),t,p)); нахождение изображения искомой функции,
>invlaplace(%,p,t); нахождение самой искомой функции,
>plot(%,t=0..4); построение графика искомой функции.
Решение интегральных уравнений.
Пример. Решить
интегральное уравнение
.
>Int(cos(t–z)*y(z),z=0..t)=t^2*exp(t); задание интегрального уравнения,
>laplace(%,t,p); переход в этом уравнении к изображениям,
>solve(%,laplace(y(t),t,p)); нахождение изображения искомой функции,
>invlaplace(%,p,t); нахождение самой искомой функции: t2 e t + 2e t – 2 .
Передаточная функция , АЧХ , ФЧХ , АФЧХ .
Пусть на вход прибора подается напряжение u(t), изображение которого будет U(p), а на выходе снимается сила тока i(t) с изображением I(p). Тогда отношение H(p)=I(p)/U(p) называется передаточной функцией прибора. Величина |H(i)| представляет собой зависящий от частоты коэффициент увеличения амплитуды входного сигнала. Эта величина называется амплитудно-частотной характеристикой прибора (АЧХ). Величина arg H(i) определяет зависимость от частоты сдвига по фазе на выходе. Эта величина называется фазово-частотной характеристикой прибора (ФЧХ). Наконец, кривая z=H(i) на комплексной плоскости называется амплитудо-фазо-частотной характеристикой (АФЧХ).
Пример. Дана передаточная функция H(p)=(p–1)/(p2+2p+2) . Построить графики (АЧХ) и (ФЧХ).
>H:=(p–1)/(p^2+2*p+2); задание передаточной функции,
>G:=subs(p=I*omega,H); подстановка р= i ,
>plot(abs(G),omega=0..7); построение графика АЧХ,
>plot(argument(G),omega=0..7); построение графика ФЧХ.
Для построение кривой АФЧХ нужно подгрузить графический пакет
>with(plots): подгрузка графического пакета,
>complexplot(G,omega=0..5); построение АФЧХ.
Примечание. В ранних версиях MAPLE результат выполнения предыдущей команды обозначался через двойные кавычки “ . Кроме того в различных версиях MAPLE одни и те же команды могут иметь разные форматы. Поэтому при использовании ранних версий программы MAPLE полезно командой >?command навести справку о данной команде. Обычно в этих справках приводятся примеры, иллюстрирующие формат команды.