Аналитическая геометрия на плоскости

Загрузка пакета >with(geometry):

Для координат зарезервированы только буквы х и у!!!

ЗАДАНИЕ ОБЪЕКТОВ.

1. Точка А с координатами х=5 , у=7 может быть задана одним из следующих способов:

>point(A,5,7); >point(A,[5,7]); >point(A,x=5,y=7); >point(A,[x=5,y=7]);

Несколько точек задаются через запятую, в конце – точка с запятой

>point(A,5,7), point(B,2,3), point(C,–1,6);

Координаты точки М определяются командами

>M[x]; первая координата,

>M[y]; вторая координата,

>coordinates(M); обе координаты (можно также через запятую >M[x], M[y]; ).

Команда >A[form]; определяет вид объекта А (point);

Команда >A(); определяет полную характеристику объекта А.

Команда >detailf(P); определяет приближенно координаты точки Р.

2. Прямая L задается двумя ранее определенными точками А и В или уравнением

>line(L,[A,B]); >line(L,[y=5*x–7]); >line(L,[2*x+3*y–5]);

Несколько прямых задаются через запятую, в конце – точка с запятой

>line(AB,[A,B]), line(PQ,[y=x+1]);

Для данного объекта L возможны справочные команды

>L[form]; вид объекта (line)

>L[given]; чем задана прямая

>L[equation]; уравнение прямой, >detailf(L); приближенное уравнение прямой.

>L(); полная характеристика объекта (уравнение, вид объекта, чем задан объект).

3. Треугольник Т задается тремя вершинами или уравнениями сторон

>triangle(T,[A,B,C]); А,В,С – ранее определённые точки,

>triangle(T,[A,B,point(M,2,5)]); А,В – две ранее определенные точки,

>triangle(T,[L1,L2,line(L3,[A,B])]); L1, L2 – две ранее заданные прямые.

Кроме того треугольник может быть задан длинами его сторон >triangle(T,[5,6,7]);

а также длинами двух сторон и углом между ними >triangle(T,[5, angle=Pi/3, 7]);

Для данного объекта Т возможны справочные команды

>T[form]; вид объекта (triangle)

>T[given]; чем задан треугольник

>T(); полная характеристика объекта (чем заданы вершины, вид объекта, чем задан объект).

При задании сторон треугольника прямыми L1, L2, L3 вершины по умолчанию обозначаются громоздкими именами L1_intersect_L2 , L1_intersect_L3 , L3_intersect_L2 и их координаты определяются командами L1_intersect_L2[x]; L1_intersect_L2[y]; и т.д.

4. Квадрат Q задается

Двумя смежными вершинами А и В >make_square(Q,[A,B,adjacent]);

Двумя противоположными вершинами А и В >make_square(Q,[A,B,diagonal]);

Вершиной квадрата М и его центром С >make_square(Q,[M,center=C]);

Четырьмя вершинами А,В,С,F (обход против часовой стрелки) >square(Q,[A,B,C,F]);

Для данного объекта Q возможны справочные команды

>Q[form]; вид объекта (square)

>Q[given]; чем задан квадрат

>Q[diagonal]; длина диагонали квадрата

>Q(); полная справка по объекту (чем задан объект, вид объекта, длина диагонали).

Если в списке «чем задан объект» имеются вершины Q_vertice1 , Q_vertice2 , то их координаты можно найти по команде >Q_vertice1[x]; Q_vertice1[y]; или >Q_vertice1().

5. Окружность С задается

Уравнением >circle(C,[x^2+y^2+2*x–3*y+5]);

Тремя точками А, В, С > circle(C,[A,B,C]);

Центром М и радиусом R > circle(C,[M,R]);

Концами А и В диаметра > circle(C,[A,B,diameter]);

Для данного объекта С возможны справочные команды

>C[equation]; уравнение окружности

>C[form]; вид объекта (circle)

>C[given]; чем задана окружность

>C[radius]; радиус окружности (его можно определить также по команде >radius(C); )

>C(); все перечисленные характеристики в виде таблицы.

>detailf(C); приближенно координаты центра и величина радиуса.

Центр окружности C по умолчанию обозначается через center_C . Его координаты находятся по командам > center_C[x]; center_C[y]; или >coordinates(center_C);

6. Эллипс EL задается

Центром С, горизонтальной осью 2а и вертикальной осью 2b

>ellipse(EL,[C,2a,2b],x_axis);

Центром С, вертикальной осью 2а и горизонтальной осью 2b

>ellipse(EL,[C,2a,2b],y_axis);

Уравнением

>ellipse(EL,[x^2+2*x*y+3*y^2+4*x+5*y–15]);

Пятью ранее заданными точками, образующими ВЫПУКЛЫЙ(!) многоугольник

>ellipse(EL,[A,B,C,M,N]);

Для данного объекта EL возможны справочные команды

>EL[form]; вид объекта (ellipse)

>EL[given]; чем задан эллипс

>EL[equation]; уравнение эллипса

>EL(); полная информация об эллипсе (в случае задания эллипса полуосями выдаются

также фокусы и эксцентриситет)

7. Произвольная кривая 2-го порядка CN задается пятью точками

>conic(CN,[A,B,C,M,N]);

Справочные команды

>CN[form]; вид объекта (conic)

>CN[equation]; уравнение кривой

>CN(); полная информация о кривой.

ЗАДАЧИ

1) Тест на коллинеарность трех точек А, В, С.

>are_collinear(A,B,C); true (false).

2) Центр тяжести К множества точек A, B, C, F и треугольника Т

>centroid([A,B,C,F],K); K

>K[x],K[y]; координаты точки К

Для треугольника команда имеет вид >centroid(T,K);

3) Тест на принадлежность четырех точек Р1, Р2, Р3, Р4 некоторой окружности

>concyclic(P1,P2,P3,P4); true (false).

4) Из данных точек составить ломаную, охватывающую остальные точки

>convexhull([A,B,C,P,Q,R]); [A, B, P, C].

5) Диаметр множества точек (наибольшее из всех расстояний)

>diameter([A,B,C,P,Q,R]); [A, P, 12].

6) Расстояние от точки А до точки В и от точки А до прямой L

>distance(A,B); >distance(A,L);

Примечание. Нельзя писать «от прямой до точки», т.е. >distance(L,А);

7) Середина М отрезка АВ

>midpoint(A,B,M); М

8) Тест на принадлежность всех данных точек А, В, Н данной окружности С

>on_circle([A,B,H],C); true (false).

9) Тест на принадлежность всех данных точек А, В, С данной прямой L

>on_line([A,B,C],L); true (false).

10) Нахождение проекции точки Р на прямую L (результат – точка Q)

>proection(P,L,Q); Q.

11) Нахождение точки Q, симметричной данной точке Р относительно данной прямой L

>reflect(P,L,Q); Q.

12) >rotate(P,,clockwise,Q,C); точка Q, получающаяся из данной точки Р при повороте плоско-

сти вокруг точки С на угол  в отрицательном направлении (counterclockwise – в положи -

тельном направлении).

13) Нахождение точки Q симметричной данной точке Р относительно данной точки С

>symmetrc(P,C,Q); Q

---ооо---

14) Тест на параллельность (перпендикулярность) прямых L1 , L2

>are_parallel(L1,L2); true (false).

>are_perpendicular(L1,L2); true (false).

15) Через точку Р провести прямую Н, параллельную прямой L

>parallel(P,L,H); H,

>Н(); полная информация о прямой L.

16) Для отрезка АВ найти срединный перпендикуляр L

>perpen_bisector(A,B,L); L,

>L(); полная информация о прямой L.

17) Через точку М провести прямую Н, перпендикулярную прямой L

>perpendicular(M,L,H); H

>H(); полная информация о прямой Н.

18) >slope(L); угловой коэффициент прямой L.

19) Тест на пересечение трех прямых L1, L2, L3 в одной точке

>are_concurrent(L1, L2, L3); true (false).

20) Нахождение угла между двумя прямыми L1, L2 или между двумя окружностями С1, С2

>find_angle(L1,L2); >find_angle(C1,C2);

Если окружности не пересекаются, то ответа нет.

21) Нахождение точки М пересечения прямых L1, L2

>M: = inter(L1,L2);

Аналогично для двух окружностей и для прямой с окружностью.

---ooo---

22) Высота в треугольнике. Пусть треугольник Т задан вершинами А,В,С. Тогда высота hA че -

рез вершину А определяется командой

>altitude(T,A,hA); hA.

>hA[equation]; уравнение высоты,

distance(A,line(BC,[B,C])); длина этой высоты.

Если треугольник определяется пересечением прямых L1, L2, L3, то вершины имеют длин -

ные и неудобные имена L1_intersect_L2 , L1_intersect_L3 , L2_intersect_L3 .

23) Тест на подобие треугольников Т1 и Т2

>are_similar(T1,T2); true (false).

24) Биссектриса в треугольнике. Пусть треугольник Т задан вершинами А,В,С. Тогда биссек-

триса bA через вершину А определяется командой

>bisector(T,A,bA); bA.

>bA[equation]; уравнение биссектрисы.

Если треугольник определяется пересечением прямых L1, L2, L3, то вершины имеют длин-

ные и неудобные имена L1_intersect_L2 , L1_intersect_L3 , L2_intersect_L3 .

25) Нахождение окружности С описанной около треугольника Т

>circumcircle(T,C); C

>C(); все характеристики окружности С.

26) Три внешневписанных окружности для треугольника Т

>excircle(T); excircle_of_T_A , excircle_of_T_B , excircle_of_T_C .

>excircle_of_T_A(); полная характеристика 1-й окружности.

27) Нахождение окружности С, вписанной в треугольник Т

>incircle(T,C); C

>C(); все характеристики окружности С.

28) Тест на равносторонность треугольника Т

>is_equilateral(T); true (false).

29) Тест на прямоугольность треугольника Т

>is_right(T); true (false).

30) Нахождение медианы mA треугольника Т, проходящей через вершину А

>median(T,A,mA); mA

>mA(); все характеристики этой медианы.

31) >sides(Q); длины сторон фигуры Q (треугольника или квадрата).

32) Точка М пересечения высот треугольника Т (ортоцентр)

>orthocenter(T,M); М

---ooo---

33) Тест на ортогональность двух окружностей С1 и С2

>are_orthogonal(C1,C2); true (false).

34) Тест на касание двух окружностей F, G или окружности F и прямой G

>are_tangent(F,G); true (false).

35) Через точку М к окружности С провести касательные L1 , L2

>tangent(M,C,L1,L2); L1 , L2

36) Центр М окружности С определяется командой

>M:=center(C); M:=center_C

>M[x],M[y]; координаты центра.

37) Площадь фигуры F (квадрат, треугольник, круг) определяется командой

>area(F);

38) Точка А называется инверсией точки В относительно окружности радиуса R с центром в

точке М , если справедливо равенство МA МB = R² .

>inversion(P,C,Q); вычисление инверсии объекта Р (точки, прямой, окружности) относи-

тельно окружности С. Результат обозначается через Q.

with(MAPLE):

Решение некоторых задач мат. анализа

при помощи математического пакета

MAPLE 6 – 9

НАПОМИНАНИЕ.

Команда записывается после приглашения ввода (знак >) и должна заканчиваться точкой с запятой «;». Если затем нажать Enter, то команда будет выполнена, и на экране появится результат. Если команда заканчивается двоеточием «:», то она выполняется, результат запоминается, но не пишется на экране. Результат выполнения предыдущей команды обозначается через «%» , предпредыдущей – «%%».