Конечные суммы

>sum(p^2, p=1..n);

>simplify(“); n³/3+n²/2+n/6

>sum(x^p, p=0..n);

Бесконечные суммы

>sum(n*x^n, n=1..infinity);

>sum(1/n^2, n=1..infinity);

>sum(1/n^10, n=1..infinity);

Произведения

Отложенная команда (пишется с большой буквы) не выполняется. В качестве ответа появляется общепринятая запись произведения

>Product(f(p), p=m..n);

Команда >value(“); производит вычисление этого произведения в точном виде

>Product(n/(n+1), n=1..100);

>value(“); 1/101

Бесконечные произведения

>Product(1+1/n/(n+2), n=1..infinity);

>evalf(“); 2

Пределы

Отложенная команда (пишется с большой буквы) не выполняется. В качестве ответа появляется общепринятая запись предела

>Limit(f(x), x = a);

Команда >value(“); производит вычисление этого предела в точном виде. Исполняемая команда пишется с маленькой буквы.

>Limit((x–sin(x))*(1–cos(x))/ln(1+x^2)/(sqrt(1+2*x^3)–1), x = 0);

>value(“); 1/12

>Limit((1+1/x)^x, x = infinity);

>value(“); e

>Limit(sqrt(x^2+1)/(x+2), x = – infinity);

>value(“); – 1

>Limit(sqrt(2*ln(x)^2+3)/(3*ln(x)+1), x=0);

>value(“); –

>Limit((2*exp(1/x)+3)/(exp(1/x)+1), x = 0, left);

>value(“); 3

>Limit((2*exp(1/x)+3)/(exp(1/x)+1), x = 0, right);

>value(“); 2

Асимптотика функции на +

>asympt(f(x), x, n); (если n не указано, то оно считается равным значению константы, задаваемой командой >Order: = n; по умолчанию эта константа равна 6).

>asympt(sqrt(x^2+6*x+1),x,3);

>asympt((2*x+3)*exp(1/x),x);

Линейная часть асимптотики даёт асимптоту кривой на + .

Асимптотика функции y = f(x) на –  вычисляется двумя командами

>asympt(f(– x), x, n);

>subs(x = – x, “);

Можно эти две команды объединить в одну >subs(x = –x, asympt(f(– x), x, n));

Формула Тейлора-Пеано

По команде >series(f(x), x=a, n); или по команде >taylor(f(x), x=a, n); получаем

Формулу Маклорена можно получить командой >f(x):=taylor(f(x),x,n);

f(x):=

Командой >coeff(“, (x–a)^k); можно затем определить коэффициент при (х–а)^к .

Если n не указано, то по умолчанию оно считается равным 6 либо равным значению константы, задаваемой предварительно командой >Order: = n; .

>taylor(exp(x),x,3); 1+x+x²/2+o(x³)

>y:= convert(“,polynom); y = 1+x+x²/2 (можно строить график!)

>plot({exp(x), y}, x = – 2..2); графическое сравнение полинома Тейлора и экспоненты.

Команда >taylor(f(x), x=infinity, n); вычисляет асимптотику на + :

>taylor(sqrt(x^2+2*x+3), x=infinity, 3); x + 1 + 2/x – 2/x² + o(1/x³)

Работу со степенными рядами обеспечивает пакет >with(powseries);

Дифференцирование

Отложенная команда >Diff(f(x,y),x,y,y);

Исполняемая команда >diff(f(x,y),x,y,y);

Производные высокого порядка вычисляются командой

>diff(f(x,y), x$5, y$7);

Дифференциал

>y:= sqrt(5–x^2);

>dy:=diff(y,x)*dx;

Численное значение дифференциала >subs(x=2,dx=0.03, dy); – 0.06

>z:= x^2*y^3; z : = x² y³

>dz:= diff(z,x)*dx+diff(z,y)*dy; dz : = 2 x y³ dx + 3 x² y² dy

Численное значение дифференциала >subs(x=1,y=1,dx=0.01, dy=0.01, dz); 0.05

Проверить, что функция z = ln(x²+y²) является гармонической

>z:= ln(x^2+y^2):

>diff(z,x,x)+diff(z,y,y);

>simplify(“); 0

Интегрирование

1) Неопределенный интеграл.

Отложенная команда >Int(exp(sqrt(x)),x);

>value(“);

Исполняемая команда >int(exp(x/2), x); 2 e^x/2

Можно писать в виде >Int(x*exp(x),x)= int(x*exp(x),x); .

Примечание. В некоторых случаях программа выдаёт ответ через непривычные обратные гиперболические функции arcsinh(x), arccosh(x), arctanh(x). В этом случае для получения результата в привычном виде можно применить команду >convert(“,ln);

2) Определенный интеграл

Отложенная команда >Int(exp(sqrt(x)), x=0..4);

>value(“); 2 e² + 2

>evalf(“) 16.77811220

Исполняемая команда >int(sqrt(x), x=1..2);

>evalf(“); 1.218951415

Можно писать >Int(sqrt(x),x=1..2)= int(sqrt(x),x=1..2);

3) Двойной интеграл

Отложенная команда >Int(Int(2*x*y, y = –x..x^2), x=0..1);

>value(“);

>evalf(“); – .08333333333

Исполняемая команда >int(int(2*x*y, y = –x..x^2), x=0..1);

Много команд, связанных с интегрированием, находятся в пакете student, который подгружается командой >with(student): . Эти команды носят иллюстративный учебный характер.

4) Замена переменной в неопределенном интеграле. >with(student):

>changevar(x=x(t),Int(f(x),x),t);

Замена переменных может производится также в виде x(t)=x , t=t(x) , t(x)=t

5) Замена переменной в определенном интеграле. >with(student):

>changevar(x=x(t),Int(f(x),x=a..b),t);

>Int(sqrt(x),x=2..5)= changevar(sqrt(x)=t,Int(sqrt(x),x=2..5),t);

6) Интегрирование по частям. >with(student):

>intparts(Int(f(x),x),u(x)); задается интеграл и и(х).

>intparts(Int(x*exp(x),x),x);

> Int(x*exp(x),x)=intparts(Int(x*exp(x),x),exp(x));

7) Идея метода прямоугольников (результат выполнения команды – рисунок). >with(student): >leftbox(f(x), x=a..b, n , color=black); >rightbox(f(x), x=a..b, n , color=red);

>middlebox(f(x), x=a..b, n , color=green);

Соответствующие этим картинкам ступенчатые площади вычисляются командами

>leftsum(f(x),x=a..b,n); >rightsum(f(x),x=a..b,n); >middlesum(f(x),x=a..b,n);

Ответ дается в точном виде. Долее можно применить команду >evalf(“);

8) Формула трапеций >with(student): >trapezoid(f(x), x=a..b, n);

Ответ дается точный. Далее применяем команду >evalf(“);

9) Формула Симпсона >with(student): >simpson(f(x), x=a..b, 2n);

Ответ дается точный. Далее применяем команду >evalf(“);

10) Двойные интегралы >with(student):

>Doubleint(f(x,y), y = m(x)..n(x), x = a..b);

>value(“);

11) Замена переменных в двойном интеграле >with(student):

>changevar({x=x(u,v), y=y(u,v)}, Doubleint(f(x,y), x,y), [u,v]);

>changevar({x=u*cos(v), y=u*sin(v)}, Doubleint(x*y, x,y), [u,v]);

13) Тройные интегралы >with(student):

>Tripleint(f(x,y,z), z=z₁(x,y)..z₂(x,y), y=y₁(x)..y₂(x), x=a..b);

>value(“);

Замена переменных в тройном интеграле – аналогично двойному интегралу.

14) Криволинейные интегралы 1-го рода >with(student):

>Lineint(f(x,y,z), x=x(t), y=y(t), z=z(t), t = ..);

>value(“);

Пример. Вычислить интеграл

>Lineint((3*x+sqrt(y))/sqrt(4+9*x), x=t^2, y=t^3, t =0..2);

>value(“); 15.23248814

15) Криволинейные интегралы 2-го рода (вычисляются без подгрузки “student”).

Интеграл по дуге АВ: x=x(t), y=y(t), t [a, b] вычисляется так:

>w: = P(x,y)*dx+Q(x,y)*dy; задание подынтегрального выражения

>x: = x(t); y: = y(t); dx:=diff(x,t); dy:=diff(y,t); задание дуги АВ и дифференциалов

>int(w, t=a..b); вычисление криволинейного интеграла.

16) Кривая и касательная к ней (рисунок) >with(student):

>showtangent(f(x), x=a);

Изображается кривая на отрезке [–10, 10] (если она там умещается) и касательная к ней в точке с координатой х = а.

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ

Подгрузка >readlib(extrema):

Условный экстремум функции z=f(x,y) при условии g(x,y)=0

>extrema(f(x,y),{g(x,y)},{x,y},’s’); s;

В ответе получаем наибольшее и наименьшее значения функции и точки, в которых эти значения достигаются.

>extrema(x+y,{x^2+y^2=2},{x,y},’s’); s; {–2, 2} {{x= –1,y= –1},{x=1,y=1}}.

Здесь Z_min= –2 , Z_max= 2 , критические точки (–1, –1) и (1, 1)

Безусловный экстремум функции z=f(x,y) разыскивается командой

>extrema(f(x,y),{},{x,y},’s’); s;

Вычисляются наибольшее и наименьшее значения функции и все критические точки.

>extrema(x^3+y^3–3*(x+y), {}, {x,y},’s’); s;

{–4, 4} {{x=1,y=1},{x= –1,y=1},{x=1,y= –1},{x= –1,y= –1}}

Аналогичные вычисления для функции одной переменной производятся по команде

>extrema(f(x),{},x,’s’); s;

Вычисляются все критические точки и наибольшее и наименьшее значения функции в них.

ТФКП

Мнимая единица обозначается через I , комплексное число – через a+b*I

Арифметика

>(2+3*I)  (5 – 7*I); >(2+3*I)*(1+I); >(1–I)/(5+6*I);

>z:=solve((1+2*I)/z=(3+4*I)/(5+6*I), z); z:=

Действительная часть >Re(a+b*I); a

Мнимая часть >Im(a+b*I); b

Сопряженное число >conjugate(a+b*I); a–b*I

Модуль >abs(3+4*I); 5

Аргумент >argument(–3 – 5*I); arctg(5/3) – 

Примечание. Последняя команда не всегда дает величину  .

Одновременное вычисление модуля и аргумента производится командой >polar( ); , которая подгружается командой >readlib(polar):

>polar(a+b*I); polar( mod(a+b*I) , arg(a+b*I))

>polar(exp(1+4*I)); polar(e , 4) (неверно!)

>polar(ln(I)); polar(/2 , /2)

Вычисление значений функций

>exp(2+3*I); e^2+3I

>evalc(“); e²cos3 + I e²sin3

>evalf(“); – 7.315110095 + 1.042743657I

Аналогично вычисляются все прочие функции. При вычислении корней, логарифмов и степеней с комплексными показателями вычисляется главное значение.

Конформные отображения смотри в разделе «Графики на плоскости».

Ряды Лорана в полюсе. Загрузить >with(numapprox, laurent);

>laurent(f(z), z = a, n); – ряд Лорана функции f(z) в полюсе(!) z = a , разложение до n-го порядка. Если порядок не указан, то считается, что он равен константе >Order: = n . По умолчанию эта константа равна 6.

>laurent(f(z), z, n); производится разложение в ряд Лорана в точке z = 0.

>laurent(1/sin(z)/(exp(z)–1),z);

>coeff(“, z^(–1)); –1/2

Ряд Лорана в существенно особой точке. Загрузить >with(numapprox, laurent);

Если правильная часть ряда Лорана конечна(!), то разложение функции f(z) в существенно осо-бой точке z₀ = a производится двумя командами

>F: = f(z); z0: = a;

>subs(t = 1/(z–z0), laurent(subs(z = z0+1/t, F), t, n));

Пример. Разложить функцию в точке z₀ = 1.

>F:= z^2*exp(z/(z–1)); z0:= 1;

>subs(t = 1/(z–z0), laurent(subs(z = z0+1/t, F), t, 5));

Вычеты в полюсе. Загрузить >readlib(residue);

>resdue(f(z), z = a); Команда вычисляет вычет функции f(z) в полюсе z = a . Применима к рациональным функциям.

>resdue(z/(z^4+1)^2, z=I); 1/8

>resdue(1/(z^4+4)^2, z=1+I); –3/256 – I*3/256

>residue(1/(exp(z)–1), z=0); 1

>residue(1/(1–cos(z)), z=0); не вычисляется

>residue(1/(exp(z)-1-z), z=0); не вычисляется

В этом случае (да и в прочих также) можно вычислять вычет функции f(z) в полюсе z=a командами (предварительно подгрузив, конечно, >with(numapprox, laurent);)

>F:= f(z); z0:= a; n:=7;

>res(F, z=z0):= coeff(laurent(F, z=z0, n), (z–z0)^(–1));

Вычеты в существенно особой точке (при конечной правильной части ряда Лорана)

>F:= f(z); z0:= a; n:=6;

>res(F, z=z0):= coeff(laurent(subs(z=z0+1/t, F), t, n), t);

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа >laplace(f(t), t, s); F(s)

Обратное преобразование Лапласа >invlaplace(F(s), s, t); f(t)

>laplace(exp(t)*sin(t), t, s);

>invlaplace(2*s/(s–1)^2/(s^2+1), s, t); t e^t – sin t

В качестве оригиналов можно брать Dirac(t), Heaviside(t–а), exp(at+b), sin(at+b), cos(at+b),

sinh(at+b), cosh(at+b), свёртку, производную, линейную комбинацию всех этих функций, а также их произведение.

>F:=Int(exp(t–z)*cos(z), z=0..t);

>laplace(F, t, s);

Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений.

Подгрузить >readlib(isolate);

Пример. y”+y’– 2y=e^t , y(0)=2, y’(0)=3 .

>diff(y(t),t,t)+diff(y(t),t)–2*y(t)=exp(t):

>laplace(“,t,s):

>subs(y(0)=2, D(y)(0)=3, “):

>isolate(“,laplace(y(t),t,s)):

>invlaplace(“,s,t);

Примечание. Вместо подгрузки команды >isolate можно использовать команду >solve( ) .

Решение интегральных уравнений.

Пример. .

>Int(cos(t–z)*y(z),z=0..t)=t^2*exp(t):

>laplace(“,t,s):

>solve(“,laplace(y(t),t,s)):

>invlaplace(“,s,t); y(t)=2t²e^t + 2e^t – 2

Пример.

>y(t)=sin(t)+t*cos(t)+Int(sin(t–z)*y(z),z=0..t):

>laplace(“,t,s):

>solve(“,laplace(y(t),t,s)):

>invlaplace(“,s,t); y(t)=2sin(t)

Интерполяционный полином

>interp([x1, x2, x3, … xn],[y1, y2, y3, … yn],x); P_n-1(x)

>interp([1,2,3],[3,7,13],t); t² + t + 1

ОПЕРАЦИЯ “МАР”

Эта операция позволяет применить данное действие к каждому элементу вектора или множества. Результат – вектор или множество (элементы множества упорядочиваются).

Примеры.

>f:=x–>x^2; >map(f,{3,1,4}); ответ: {1,9,16} – результат упорядочен

>map(diff,[sin(x), exp(2*x)],x); ответ: [cos(x), 2e^2x]

>map(int, [2*x, 3*x^2],x); ответ: [x², x³]

>map(limit,{2*x+7, 5*x}, x=1); ответ: {5, 9} – результат упорядочен

>map(laplace, [t, exp(t)],t,s); ответ: [1/s², 1/(s–1)]

>map(invlaplace,[1/s², 1/(s–1)],s,t); ответ: [t, exp(t)]

>map(dsolve, [D(y)(x)=2*x,D(y)(x)=3*x^2], y(x)); ответ: [y(x)=x²+_C1, y(x)=x³+_C1] .