Уравнения

1) Точное решение уравнения.

>solve(f(x), x); корни уравнения f(x) = 0; решение находится в точном виде или не находится совсем; возможны посторонние корни.

>solve(f(x)=g(x), x); находятся корни уравнения f(x)=g(x).

>solve(sqrt(x)=2*x-3, x); 1 (посторонний корень!), 9/4

>solve(x^3+x+10, x); –2 , 1+2i , 1–2i

2) Приближенное решение уравнения.

>fsolve(f(x), x); отыскиваются приближенные действительные корни уравнения f(x)=0; посторонние корни не вычисляются

>fsolve(f(x), x, complex); отыскиваются приближенные комплексные корни уравнения f(x)=0

>solve(x^3+3*x^2+5*x+3, x);

>fsolve(x^3+3*x^2+5*x+3, x); –1

>fsolve(x^3+3*x^2+5*x+3, x, complex); –1 , –1+i 1.414… , –1–i 1.414…

>fsolve(f(x), x, x=a..b); приближенные корни уравнения f(x)=0 на отрезке [a, b].

3) Системы уравнений.

>solve({f(x,y), g(x,y)}, {x,y}); точное решение системы {f(x,y)=0, g(x,y)=0}

>fsolve({f(x,y), g(x,y)}, {x,y}); приближенное решение системы {f(x,y)=0, g(x,y)=0}

Аналогично для системы в другой записи

>solve({f(x,y)=g(x,y), P(x,y)=Q(x,y)}, {x,y}); точное решение системы

>fsolve({f(x,y)=g(x,y), P(x,y)=Q(x,y)}, {x,y}); приближенное решение системы

4) Решение уравнения f(x) = t в виде ряда

Пусть функция f(x) разлагается в ряд Маклорена f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+… (Если это не так, то следует сделать линейную замену переменной). Тогда решение уравнения f(x) = t будет иметь вид x=b₁(t–a₀)+b₂(t–a₀)²+… Количество членов разложения определяется предварительной командой >Order: = n; (по умолчанию n = 6).

Команда в общем случае имеет вид

>Order: = n:

>solve(series(f(x), x) = t , x);

>Order: = 4:

>x:=solve(series(x+exp(x), x)=t , x); x:=

5) Определить при каких А и В уравнение F(x, A, B)=0 является тождеством по х .

Примеры.

>F: = x^2+a*x+4=(x+2)^2 ;

>solve(identity(F, x), a); 4

>F: = (2*a–3*b)*sin(x)^2+(a–b)*cos(x)^2=1;

>solve(identity(F, x), {a, b}); {a=2 , b=1}

>F: = diff(y(x),x,x)+a*diff(y(x),x)+b*y(x);

>y(x): = exp(3*x)*sin(4*x);

>solve(identity(F, x), {a, b}); {a= – 6 , b=25}

>F: = diff(y(x),x,x)+4*diff(y(x),x)+13*y(x);

>y(x): = exp(a*x)*sin(b*x);

>solve(identity(F, x), {a, b}); {b=0} {a= – 2 , b=3} {a= – 2 , b= – 3}

>F: = diff(y(x),x,x)+diff(y(x),x)+y(x)= 13*sin(2*x)+13*cos(2*x);

>y(x): = a*sin(2*x)+b*cos(2*x);

>solve(identity(F, x), {a, b}); {a= – 1 , b= – 5}

Неравенства

Строгие неравенства задаются значками < , > , нестрогие – значками <= , >= .

>solve(1/x>1,x); {0<x , x<1}

Однако при решении соответствующего нестрогого неравенства получим

>solve(1/x>=1,x); {0  x , x  1} , что неверно!

Ответ {x = x} означает «при любых х ».

При решении функциональных неравенств MAPLE не учитывает область определения функции. Например

>solve(ln(x)<1, x); {x < e}

>solve(arcsin(x)<Pi/6, x); {x < ½}

Для приближенного решения неравенств используется команда

>evalf(solve(f(x)<g(x),x));

>evalf(solve(exp(x)<2*x+1,x)); {0 < x , x < 1.256431208}

Суммы

Отложенная команда (пишется с большой буквы) не выполняется. В качестве ответа появляется общепринятая запись суммы (исполняемая команда пишется с маленькой буквы)

>Sum(f(n), n=3..10);

Команда >value(“); производит точное вычисление этой суммы

>Sum(1/n, n=2..5);

>value(“); 77/60

>evalf(“); 1.283333333