Машинные константы:

Pi (=  = 3,14159…) , E (= e = 2,7182818…) , I (= ) , infinity (= +) , – infinity (= –) .

Встроенные функции (почти все пишутся с маленькой буквы).

exp(x), ln(x), log10(x), log[n](x), sqrt(x), abs(x), n! , signum(x),

sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x),

sinh(x), cosh(x), tanh(x), arcsinh(x), arccosh(x), arctanh(x),

Heaviside(x), Dirac(x), floor(x) – целая часть от х .

Примечание. arctan(x,y) вычисляется как arctan(x/y) .

Множества задаются фигурными скобками

>A: = {1,2,3,4,5}; B: = {3,4,5,6,7};

Операции над множествами:

>C: = A intersect B; C = {3,4,5} ,

>D: = A minus B; D: = {1,2} ,

>E: = A union B; E: = {1,2,3,4,5,6,7} .

При выдаче на экран элементы множества М упорядочиваются по возрастанию (если они действительные). По команде >М[n]; можно узнать значение n - го элемента множества.

Индексные величины (векторы) задаются квадратными скобками: А: = [1,9,3,5] .

По команде >A[n]; можно узнать значение n - й координаты.

Присвоение (assignment).

Команда «Пусть А равняется ln(2x²+3)» имеет вид

>A: = ln(2*x^2+3);

Несколько присвоений можно писать в строчку через ; или через :

>x: = t+2; y: = 5; z: = a;

Присвоение сохраняется до тех пор, пока оно не будет снято.

Одной из форм присвоения является команда >alias(w=F(x)); «в дальнейшем F(x) будем обозначать через w» .

Снятие присвоения (unassignment). Используют прямые кавычки.

Если есть присвоение >x: = 2; , то нельзя решать уравнение >solve(2*x+5=0, x); , так как величина х уже определена (она равна 2). Нужно

ЛИБО снять присвоение командой >x:=’x’; и уже затем решать уравнение.

ЛИБО снять присвоение командой > unassign(‘x’); и уже затем решать уравнение.

Примечание. Эта команда удобна для снятия нескольких присвоений >unassign(‘x’,’y’);

ЛИБО решать данное уравнение, переписав его в виде >solve(2*’x’+5=0,’x’); .

Аналогично команде >unassign(… ); действует команда >restart; однако она удаляет загрузку всех пакетов.

Операции оценивания.

>evalf( ) – вычисляет в виде десятичных дробей величины, заданные точно

>evalf(sqrt(2)); 1,414213562 (десять знаков по умолчанию).

Количество знаков можно изменить, если до вычисления выполнить команду >Digits:=n; либо добавить в команду оценки опцию

>evalf(sqrt(2),15); 1,41421356237310 (15 знаков).

Если аргументы функций заданы в десятичной форме, то оценка происходит автоматически:

>sqrt(2.0); 1.414213562

>sin(1.0); .8414709848

>evalc( ) – вычисляет в точном виде значения комплексных функций

>sin(1+I); sin(1+I)

>evalc(“); sin1 ch1+I cos1 sh1

>evalf(“); 1.29… + .634… I

Тот же результат можно получить командой

>sin(1.0 + I); 1.29… + .634… I

>value( ) – вычисляет в точном виде результат ОТЛОЖЕННОЙ (inert form of…) команды.

>Int(sqrt(x),x=1..2); (отложенная команда)

>value(“);

>evalf(“); 1.218951415

Родственные команды оценивания: evalm, evalhf, evalb, evala .

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Подстановка.

>subs(x=a, f(x)); – подставить х=а в выражение f(x).

>subs(x=a,y=b,f(x,y)); – подставить х=а, y=b в выражение f(x,y).

>F:=x^2+y^2; G:=2*x+3*y;

>A:=subs(x=3,y=2,[F,G]); A=[13, 12]

Величина А – векторная (индексная). Командами >A[1]; >A[2]; можно узнать значения её координат.

>B:=subs(x=3,y=2,{F,G}); B={12, 13}

В этом случае В – множество, элементы печатаются по возрастанию (в комплексном случае элементы печатаются в порядке задания в команде). Элементы множества выводятся на экран командами >B[1]; >B[2]; .

Приведение подобных членов.

>collect(P, Q); – приведение подобных членов в выражении Р по переменной (выражению) Q.

>P: = 2*x^2+3*x*y+4*y^2+5*x+6*y;

>collect(P, x); 2x² + (3y+5)x + 4y²+6y

>collect(P, y); 4y² + (3x+6)y + 2x²+5x

Выражение одной переменной через другую из данного уравнения.

Предварительная подгрузка >readlib(isolate):

>P:= 2*ln(x)*exp(x) –3*exp(y)+7=10*ln(x) – exp(y);

>isolate(P, ln(x));

Если уравнение имеет вид Р = 0, то в этом случае можно задавать только левую часть. Команду >isolate можно заменить командой >solve. В этом случае можно обойтись без подгрузки.

>solve(2*x*y+3*x+4*y+5, y);

Выделение частей равенства, выделение числителя и знаменателя.

>lhs(a/b=m/n); a/b выделение левой части равенства

>numer(“); a выделение числителя

>rhs(a/b=m/n); m/n выделение правой части равенства

>denom(“); n выделение знаменателя

Команда >COMBINE( );

1) Объединение интегралов и пределов в отложенной форме (Int, Limit) в одно целое:

>A: = Int(x^2,x=2..5); B: = Int(x^3,x=2..5);

>combine(7*A – 4*B);

>A: = Limit(x^2,x=3): B: = Limit(x^5,x=3): C: = Limit(sin(x),x=3):

>combine(7*A*B – 10*C/B);

2) Опция trig. Преобразование многочлена P(sin x, cos x) в сумму sin(nx) , cos(nx).

>combine(sin(x)^3+sin(x)*cos(x)^2+cos(x)^4, trig); sin x + (1/8)cos4x+(1/2)cos2x+3/8

3) Опция ln. Потенцирование.

>combine(2*ln(x)+3*ln(y)–5*ln(z), ln);

4) Опция ехр. Умножение и деление экспонент.

>combine(A,exp); e^{2x + 3y – 5z}

5) Действия со дробными степенями.

>combine((x–2)^(1/3)*(x+5)^(1/3)); (x²+3x–10)^1/3

>combine(sqrt(x+1)/sqrt(x+2));

>combine(Int((x–2)^(1/3)*(x+5)^(1/3),x));

>combine(limit(sqrt(x+1)/sqrt(x+2),x=0));

Команда >EXPAND(…);

1) Раскрытие всех скобок

>expand((x–1)*(x–2)*(x–3)); x³ – 6x² + 11x – 6

>expand((x–1)*(x–2)/(x–3));

Раскрытие всех скобок кроме одной, указанной в опции

>expand((x+y)*(a+b), x+y); (x+y)a + (x+y)b

>expand((x+y)*(a+b), a+b); (a+b)x + (a+b)y

2) Логарифмирование

>expand(ln(E*a^2/b^3)); 1+2 lna – 3 lnb

3)Действия с экспонентами

>expand(exp(a – n*b + ln(c)));

4) Сведение тригонометрических выражений к синусам и косинусам простых аргументов

>expand(tan(x – y)*sin(x + y));

>expand(sin(3*x)); 4 sin x cos²x – sin x

Разложение на множители.

1) Разложение на множители числителя и знаменателя

>factor((x^2 – 1)/(x^2+x – 6));

2) Разложение на множители с последующим сокращением

>factor((x^3–y^3)/(x^2–y^2));

3) Разложение многочлена на множители с рациональными коэффициентами

>factor(x^4 + 4); (x²–2x+2)(x²+2x+2)

4) Если коэффициенты многочлена содержат радикалы, то может быть сделано разложение на множители с аналогичными коэффициентами

>factor(x^3+x–3*sqrt(2));

5) Возможные радикалы, которые появятся в разложении, можно задать в виде опций

>factor(x^3+16, {2^(1/3),sqrt(–3)});

6) Опции можно задавать в виде какого-нибудь корня многочлена командой >RootOf (P(x));

>alias(w=RootOf(x^2+4*x+1); I , w

>factor(x^2+4*x+1,w); (x – w)(x – w + 4)

Команда >NORMAL( );

1) Раскрытие скобок и приведение подобных членов

>normal(x^2+5*x+(2*x–3)*(1–7*x)); –13x² + 28x + 3

2) Сокращение дробей

>normal((x^2+x–2)/(x^2+2*x–3));

3)Приведение дробей к общему знаменателю

>normal(2*x+3+4/(x–1)+5/(x–2));

Если добавить опцию “expanded”, то будут раскрыты скобки в знаменателе

>normal(2*x+3+4/(x–1)+5/(x–2), expanded);

Команда “normal” работает и в том случае, если все приведенные выше выражения находятся под знаком какой-либо функции!

Команда упрощения >SIMPLIFY( );

1) Упрощение числовых выражений

>A: =3*(1/4)^(1/2)+5*(1/81)^(1/4);

>simplify(A); 19/6

2) Использование функции предположения assume( );

A: = sqrt(a^2)+sqrt(b^2);

simplify(A,assume(a>0,b<0)); a~ – b~

3) Упростить выражение F=x²–y² при условиях x=a+b , y=a–b

>simplify(x^2–y^2, {x=a+b, y=a–b}); 4ab

4) Использование тригонометрических формул

>simplify(sin(x)^4–cos(x)^4+cos(2*x),trig); 0

Команда преобразования >CONVERT( );

1) Преобразование рациональной дроби в сумму многочлена и простейших дробей

>R: = (3*x^3+2*x^2+x)/(x^2–3*x+2);

>convert(R, parfrac, x);

2) Превращение равенства в неравенство и обратно

>convert(a=b, lessthan); a < b

>convert(a=b, lessequal); a  b

>convert(a<b, equality); a = b

3) Если результат интегрирования содержит непривычные arcsinh(x) , arctanh(x) , то для приведения результата к привычному виду можно применить команду >convert(“,ln);

Аналогично, гиперболические функции sinh(x), cosh(x), tanh(x) можно выразить через экспоненты командой >convert(“,exp);

Полную список опций команды «convert» можно получить по команде >?convert с последующей командой >?convert[опция]

Полиномы

Пусть задан полином >P: = a*x^2+b*x+c: Тогда возможны команды

1) Старший коэффициент >lcoeff(P); a

2) Младший коэффициент >tcoeff(P); c

3) Все коэффициенты >coeffs(P,x); c , b , a

4) Все коэффициенты и соответствующие иксы >coeffs(P, x,’s’); s; c , b , a

1 , x , x²

5) Коэффициент при n-ой степени х >coeff(P,x,n); или >coeff(P,x^n);

6) Список слагаемых >convert(P,list); [ax² , bx , c]

7) Частное от деления Р на Q >quo(P, Q, x); (остаток не вычисляется)

8) Остаток от от деления Р на Q >rem(P, Q, x);