
- •Математические пакеты
- •Греческие буквы (выводятся при выдаче результата)
- •Машинные константы:
- •Уравнения
- •Неравенства
- •Конечные суммы
- •Бесконечные суммы
- •Произведения
- •Пределы
- •Графика в maple
- •Дифференциальные уравнения
- •Линейная алгебра
- •Задание вектора
- •Основные задачи линейной алгебры
- •Аналитическая геометрия на плоскости
- •§1. Точки разрыва функции и их характер.
- •§2. Графики функций. Элементарные свойства функций.
- •§3. Вычисление пределов.
- •§4. Дифференцирование.
- •§5. Формула Тейлора-Пеано
- •§6. Интегалы.
- •§6. Функции многих переменных.
- •§7. Функциональная последовательность. Предельная функция.
- •§8. Дифференциальные уравнения.
- •§9. Элементы теории поля.
- •§9. Комплексные числа и функции комплексного переменного.
- •§10. Операционное исчисление.
§9. Элементы теории поля.
Криволинейные интегралы 1-го рода .
Эти интегралы вычисляются с подгрузкой пакета student.
ЗАДАЧА. Вычислить по дуге L=
Решение.
>with(student): подгрузка пакета student ,
>Lineint((3*x+sqrt(y))/sqrt(4+9*x),x=t^2,y=t^3,t=0..2); задание интеграла,
>value(%); вычисление интеграла. Ответ: .
Криволинейные интегралы 2-го рода (работа силового поля).
Пусть требуется вычислить работу силового поля F={ p(x,y) ; q(x,y) } вдоль пути L , заданного уравнениями L = {x=x(t), y=y(t) , t[a,b]} , т.е. требуется вычислить криволинейный интеграл А = .
Решение.
> x:=x(t); y:=y(t); p:=p(x,y); q:=q(x,y); задание уравнений пути и силового поля;
>А:=int(p*diff(x,t)+q*diff(y,t),t=a..b); вычисление криволинейного интеграла.
Градиент, дивергенция, ротор.
Эти величины вычисляются с подгрузкой алгебраического пакета linalg.
>with(linalg): подгрузка пакета linalg ,
>U:=F(x,y,z); задание скалярного поля,
>V:=[x,y,z]; задание переменных,
>grad(U,V); вычисление градиента поля по заданным переменным.
>F:=[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]; задание векторного поля,
>V:=[x,y,z]; задание переменных,
>diverge(F,V); вычисление дивергенции поля по заданным переменным,
>curl(F,V); вычисление ротора поля по заданным переменным,
§9. Комплексные числа и функции комплексного переменного.
Комплексные числа задаются выражением a+b*I . Арифметические действия с комплексными числами производятся по тем же командам, что и с действительными числами.
Пример. Решить
уравнение
.
>eq:=(z+2–I)/(3-4*I)=(z+2*I)/(1+I); задание уравнения
>solve(eq,{z}); решение этого уравнения относительно z .
Условия Коши-Римана.
ЗАДАЧА. Проверить условия Коши-Римана для функции w=z2exp(z) .
>w:=(x+I*y)^2*exp(x+I*y); задание функции,
>u:=evalc(Re(w)); v:= evalc(Im(w)); вычисление u(x,y) и v(x,y),
>diff(u,x)–diff(v,y);
проверка равенства нулю разности
.
Иногда, чтобы получить ноль, эту команду
следует сопроводить командой >simplify(%);
Аналогичным образом проверяется второе условие Коши-Римана.
Вычеты в полюсе.
Вычет функции w=f(z) в точке z=z0 вычисляется по команде
>residue(f(z),z=z0);
Пример. Определить
вычет функции
в полюсе z=1 .
>w:=sin(Pi*z)/(2*z^2–3*z+1)^2;
>residue(w,z=1); ответ: – .
Вычет в существенно особой точке.
Существенно особая точка – это точка, в которой возникает бесконечность под знаком функций синуса, косинуса или экспоненты. Вычет в этой точке – это коэффициент при степени (z–z0)–1 разложения функции в ряд Лорана. К сожалению MAPLE умеет разлагать функции в ряд Лорана только в полюсе. Поэтому предварительно следует сделать подстановку z=z0+1/t и только затем производить разложение полученной функции в ряд Лорана в точке t = 0. Вычет будет равен коэффициенту при t .
Пример. Определить
вычет функции
в
точке z = i
.
>with(numapprox,laurent): подгрузка программы разложения в ряд Лорана,
>w:=z^2*exp((2*z+3)/(z^2+1)); z0:=I; задание функции и особой точки,
>res(w,z=z0)=coeff(laurent(subs(z=z0+1/t,w),t),t); вычисление вычета.