§9. Элементы теории поля.

1. Криволинейные интегралы 1-го рода .

Эти интегралы вычисляются с подгрузкой пакета student.

ЗАДАЧА. Вычислить по дуге L=

Решение.

>with(student): подгрузка пакета student ,

>Lineint((3*x+sqrt(y))/sqrt(4+9*x),x=t^2,y=t^3,t=0..2); задание интеграла,

>value(%); вычисление интеграла. Ответ: .

2. Криволинейные интегралы 2-го рода (работа силового поля).

Пусть требуется вычислить работу силового поля F={ p(x,y) ; q(x,y) } вдоль пути L , заданного уравнениями L = {x=x(t), y=y(t) , t[a,b]} , т.е. требуется вычислить криволинейный интеграл А = .

Решение.

> x:=x(t); y:=y(t); p:=p(x,y); q:=q(x,y); задание уравнений пути и силового поля;

>А:=int(p*diff(x,t)+q*diff(y,t),t=a..b); вычисление криволинейного интеграла.

3. Градиент, дивергенция, ротор.

Эти величины вычисляются с подгрузкой алгебраического пакета linalg.

>with(linalg): подгрузка пакета linalg ,

>U:=F(x,y,z); задание скалярного поля,

>V:=[x,y,z]; задание переменных,

>grad(U,V); вычисление градиента поля по заданным переменным.

>F:=[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]; задание векторного поля,

>V:=[x,y,z]; задание переменных,

>diverge(F,V); вычисление дивергенции поля по заданным переменным,

>curl(F,V); вычисление ротора поля по заданным переменным,

§9. Комплексные числа и функции комплексного переменного.

Комплексные числа задаются выражением a+b*I . Арифметические действия с комплексными числами производятся по тем же командам, что и с действительными числами.

Пример. Решить уравнение .

>eq:=(z+2–I)/(3-4*I)=(z+2*I)/(1+I); задание уравнения

>solve(eq,{z}); решение этого уравнения относительно z .

1. Условия Коши-Римана.

ЗАДАЧА. Проверить условия Коши-Римана для функции w=z²exp(z) .

>w:=(x+I*y)^2*exp(x+I*y); задание функции,

>u:=evalc(Re(w)); v:= evalc(Im(w)); вычисление u(x,y) и v(x,y),

>diff(u,x)–diff(v,y); проверка равенства нулю разности . Иногда, чтобы получить ноль, эту команду следует сопроводить командой >simplify(%);

Аналогичным образом проверяется второе условие Коши-Римана.

2. Вычеты в полюсе.

Вычет функции w=f(z) в точке z=z0 вычисляется по команде

>residue(f(z),z=z0);

Пример. Определить вычет функции в полюсе z=1 .

>w:=sin(Pi*z)/(2*z^2–3*z+1)^2;

>residue(w,z=1); ответ: – .

3. Вычет в существенно особой точке.

Существенно особая точка – это точка, в которой возникает бесконечность под знаком функций синуса, косинуса или экспоненты. Вычет в этой точке – это коэффициент при степени (z–z₀)^–1 разложения функции в ряд Лорана. К сожалению MAPLE умеет разлагать функции в ряд Лорана только в полюсе. Поэтому предварительно следует сделать подстановку z=z₀+1/t и только затем производить разложение полученной функции в ряд Лорана в точке t = 0. Вычет будет равен коэффициенту при t .

Пример. Определить вычет функции в точке z = i .

>with(numapprox,laurent): подгрузка программы разложения в ряд Лорана,

>w:=z^2*exp((2*z+3)/(z^2+1)); z0:=I; задание функции и особой точки,

>res(w,z=z0)=coeff(laurent(subs(z=z0+1/t,w),t),t); вычисление вычета.