§6. Функции многих переменных.

1. Графики функций (поверхности).

График функции z=f(x,y) над областью S={a  x  b, m  y  n} изображается по команде

>plot3d(f(x,y),x=a..b,y=m..n);

Мышью поверхность можно «пошевелить» и выбрать наиболее выразительный ракурс.

Область S может иметь более сложный вид: S={a  x  b, у1(х)  y  у2(х)}. Команда приобретает в этом случае вид

>plot3d(f(x,y),x=a..b,y=у1(х)..у2(х));

Несколько поверхностей на общей области определения задаются командой

>plot3d({f(x,y),g(x,y),h(x,y)},x=a..b,y=m..n);

2. Частные производные.

Частные производные находятся по командам типа

>diff(f(x,y),x,x,y); .

ЗАДАЧА. Доказать, что функция z=ln(x²+y²) удовлетворяет уравнению Лапласа.

Решение.

>z:=ln(x^2+y^2); задание функции,

>diff(z,x,x)+diff(z,y,y); вычисление суммы вторых частных производных,

>simplify(%); упрощение предыдущего результата (ответ – ноль).

3. Дифференциал.

ЗАДАЧА. Вычислить значение функции z= в точке х=3,012 у=1,998 , заменив приращение функции дифференциалом.

Решение.

>z:=sqrt(x^2–y^3); задание функции,

>dz:=diff(z,x)*dx+diff(z,y)*dy; вычисление дифференциала в общем виде,

>subs(x=3,y=2,dx=0.012,dy= – 0.002,dz); численное значение дифференциала = 0, 048.

Ответ. Приближенное значение функции равно 1,048 .

4. Экстремум функции двух переменных. Критические точки.

Критические точки функции z=f(x,y) находятся по командам

>z:=f(x,y); задание функции,

>solve({diff(z,x), diff(z,y)},{x,y}); решение системы { f’_x=0 , f’_y=0} .

Линия уровня z=0 , которая требуется в домашней работе по функциям многих переменных, рисуется по командам

>with(plots): подгрузка графического пакета,

>implicitplot(z,x=a..b,y=m..n); график уравнения f(x,y)=0.

Границы по Х и Y следует выбирать так, чтобы захватить все критические точки. Критические точки, не лежащие на графике уравнения, являются точками экстремума.

5. Линеаризация функции F(x,y,z)=0 и решение функционального уравнения в окрестности точки (x₀ , y₀ ,z₀) .

>readlib(mtaylor): подгрузка формулы Тейлора для многих. переменных,

>W:=F(x,y,z); задание функции,

>mtaylor(W,[x0,y0,z0],2); линеаризация заданной функции,

>z=solve(%,z); решение линеаризованного функционального уравнения относительно z.

6. Условный экстремум функции z=f(x,y) при условии g(x,y)=0.

>F:=f(x,y); G:=g(x,y); задание функции и условия,

>L:=F+lambda*G; составление функции Лагранжа,

>solve({diff(L,x),diff(L,y),diff(L,lambda)},{x,y,lambda}); нахождение критических точек.

Далее на одном и том же чертеже следует изобразить кривую условие, линии уровня функции, проходящие через критические точки и несколько промежуточных линий уровня. Делается это командами

>with(plots): подгрузка графического пакета,

>implicitplot({G,F=z1,F=z2,F=z3},x=a..b,y=m..n); построение кривых.