§3. Вычисление пределов.

MAPLE очень неплохо вычисляет пределы функций с использованием команд

>limit(f(x),x=а); двусторонний предел в точке х=а ;

>limit(f(x),x=а, left); предел в точке х=а слева;

>limit(f(x),x=a, right); предел в точке х=а справа;

>limit(f(x),x=infinity); предел на плюс бесконечности;

>limit(f(x),x= – infinity); предел на минус бесконечности;

>limit(f(x),x=infinity, real); предел на плюс-минус бесконечности.

Пример. Найти предел

>limit((cos(x)-sqrt(1-x^2))/(x^2-x*sin(x)),x=0); ответ: 1.

Если команду написать с большой буквы (Limit), то это будет отложенная форма команды. Она не выполняется, а вместо ответа на экран выдается запись предела в нормальном человеческом виде. По этой записи удобно проверять правильность введенной команды. Значение предела находится затем по команде >value(%);

Можно использовать комбинированную форму записи

>Limit((1+1/n)^n,n=infinity)=limit((1+1/n)^n,n=infinity);

Ответом в этом случае будет привычная запись

Единственным недостатком при вычислении пределов является то, что MAPLE не объясняет, как он вычисляет пределы. Так что вычислять пределы придется самому, а MAPLE использовать только для проверки своих результатов.

§4. Дифференцирование.

Производная от функции y=f(x) находится по команде

>diff(f(x),x);

Вторая производная от функции y=f(x) находится по команде

>diff(f(x),x,x);

Часто результаты выглядят громоздко. В этом случае команду нахождения производной следует сопроводить командой

>simplify(%); (упростить результат предыдущей команды)

или командой

>normal(%); (привести к общему знаменателю результат предыдущей команды).

ЗАДАЧА. Проверить, что при любом С функция y=C +sin(x²) удовлетворяет уравнению .

Решение.

>y:=C*sqrt(x)+sin(x^2); задание функции,

>2*x*diff(y,x)=y+4*x^2*cos(x^2)–sin(x^2); задание дифференциального уравнения,

>simplify(lhs(%)–rhs(%)); упрощение разности левой и правой частей предыдущего результата (ответом должен быть НОЛЬ).

ЗАДАЧА. Определить, при каких значениях А и В функция y=e^3xcos5x удовлетворяет уравнению y’’+Ay’+By=0 .

Решение.

>y:=exp(3*x)*cos(5*x): задание функции;

>eq:=diff(y,x,x)+A*diff(y,x)+B*y=0: задание уравнения;

>solve(identity(eq,x),{A,B}); нахождение А и В {A= –6 , B=34}

ЗАДАЧА. Найти точную оценку функции у=(х²+х+1)е ^{– х} на отрезке [–0,3 ; 2] .

Решение.

>y:=(x^2+x+1)*exp(–x); задание функции;

>solve(diff(y,x),x); отыскание критических точек функции;

>plot(y,x= – 0.3..2); построение графика функции на заданном отрезке.

По графику затем можно определить, что наибольшее значение функции на заданном отрезке достигается в критической точке х=1 , а наименьшее – в концевой точке х=2 .

Ответ. Искомая оценка имеет вид 7е^–2 (х²+х+1)е ^{– х}  3е^–1 .

ЗАДАЧА. Вычислить с указанием погрешности значение функции в приближенной точке x=2  0,001 (погрешность функции считать равной дифференциалу).

Решение.

>dy:=diff(sqrt(x^3–7),x)*dx; вычисляем дифференциал функции;

>subs(x=2,dx=0.001,dy); подставляем в него х=2 , dx=0,001. Получаем 0,006.

Ответ. Значение функции равно 1 0,006.