ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ИНСТИТУТ

ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

Кафедра математики и информатики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине: математическое моделирование

Тема № 1: « Моделирование экономической системы с использованием производственной функции Кобба-Дугласа»

ВАРИАНТ № 1

Выполнила:

студентка II курса

заочного отделения

факультета менеджмента

группы 2-37

Андреева Н.

г. Гатчина

2005 г.

Содержание

1. Общие положения 3

2. Постановка задачи 7

3. Алгоритм решения и экономический анализ полученных результатов 8

ЛИТЕРАТУРА 13

Приложения 15

1. Общие положения

Основным звеном в экономике является производство. Рассмотрим возможность моделирования этого звена.

Входными показателями в данном случае является величина основных производственных фондов, количество вовлеченных трудовых ресурсов и объем используемых природных ресурсов.

Выходной величиной является валовой выпуск продукции. В первом приближении объем используемых природных ресурсов прямо пропорционален объему основных производственных фондов, т. к. чем больше объем привлекаемых для производства основных производственных фондов, тем больше предоставляется возможность для потребления природных ресурсов (руды, нефти и т.п.).

В связи с этим, будем искать в первую очередь зависимость валового выпуска продукции от основных производственных фондов и привлекаемых к производству трудовых ресурсов.

Для моделирования данной зависимости работы ряда ученых показали целесообразность использования мультипликативной производственной функции Кобба-Дугласа.

В общем случае мультипликативная функция имеет вид:

X = A *K^α1 * L^α2 (1)

где α1>0, α2>0,

А - коэффициент нейтрального технического прогресса,

α1, α2 - коэффициенты эластичности по труду и фондам.

Частным случаем функции (1) является функция Кобба-Дугласа:

Х = AK^α * L^{1- α} (2)

где где α₁= α, α₂=1- α (3)

Данные функции (1), (2) отвечают условиям:

а) гладкости, т. е. непрерывно дифференцируемая функция в производная не имеет скачков 1-го и 2-го рода;

б) F(O,L) = F(K,O) = 0, т. е. при отсутствии одного ресурса производство невозможно;

в) ∂F/∂K>0; ∂F/∂L > 0 т.е. с ростом ресурсов производство растет;

г) ∂²F/∂K² < 0; ∂F²/∂L² < 0 с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется;

д) F(+∞,L) = F(K, +∞) = +∞, при неограниченном росте ресурсов выпуск неограниченно растет.

Нахождение параметров мультипликативной функции производится по временному ряду выпусков продукции и затрат ресурсов (Х_t, К_t, L_t) где t=1,2,3…t. длина временного ряда.

При этом предполагается, что имеет место соотношение:

Х = δ_t * А * К_t^α1 * L_t^α2 (4)

где δ_t, - корректировочный коэффициент приводящий в соответствие фактический и расчетный выпуск и отражающий ситуацию результата под воздействием других факторов:

М _δt = 1 ∑ / T 1

t=1

Прологарифмируем функцию (4) и получим:

lnX_t = lnδ_t + lnA +α₁lnK_t +α₂lnL_t (5)

Уравнение (5) - является фактически уравнением линейной регрессии вида:

y(t) = B + α₁ x₁(t) +α₂x₂(t) (6)

Параметры В, α1, α2 - могут быть определены методом наименьших квадратов (МНК) при заданных значениях у, х1 и х2 для данных моментов времени с помощью стандартных пакетов прикладных программ.

При нахождении параметров модели необходимо особое внимание уделить:

а) корректному отбору исходной информации;

б) оценке качества полученных значений.

Качество линейных эконометрических моделей регрессии оцениваются по адекватности и точности.

Адекватность моделей регрессии устанавливается на основе анализа остаточной последовательности, т.е. разности фактических значений изучаемого показателя и расчетных ее значений. При этом расчетные, значения получают подстановкой в модель фактических значений всех включенных в модель факторов.

Остаточная последовательность проверяется на выполнение свойств случайной компоненты временного экономического ряда: близость нулю математического ожидания; случайный характер отклонений; отсутствие автокорреляции; нормальность закона распределения. Вывод об адекватности модели делается если все четыре проверки свойств остаточной последовательности дают положительный результат.

О качестве моделей регрессии можно судить также по:

а) значениям коэффициента множественной корреляции,

б) значениям совокупного коэффициента детерминации. Чем ближе абсолютные величины указанных коэффициентов к 1, тем теснее связь между изучаемым признаком и выбранными факторами и, следовательно, с тем большей уверенностью можно судить об адекватности построенной модели, включающей в себя наиболее влияющие факторы.

Для оценки точности регрессионных моделей нет статистические критерии точности, в частности, ct относительную ошибку аппроксимации.

Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F - критерия Фишера.

При проверке качества регрессионной модели целесообразно оценить также значимость коэффициентов регрессии. Эта оценка проводится по t - статистике Стьюдента путем проверки гипотезы о равенстве нулю к - го коэффициента регрессии (k = 1,2,...,k). Расчетное значение t - критерия с числом степеней свободы (n-m-1) сравнивается с табличным значением критерия Стьюдента при заданном уровне значимости, и если оно больше табличного значения, коэффициент регрессии считается значимым. В противном случае соответствующий данному коэффициенту регрессии фактор следует исключить из модели, при этом качество модели не ухудшится.

Приведем экономическую интерпретацию параметров A, α1, α2:

Параметр А обычно интерпретируется как параметр нейтрального (т. е. не относящийся ни к К, ни к L) технического прогресса.

При изучении факторов роста экономики выделяют экстенсивные факторы роста, т. е. за счет увеличения использованных ресурсов (масштабы производства) и интенсивные факторы (за счет повышения эффективности производства).

Т. к. проблема соизмерения прошлого и настоящего труда не решена, то для анализа ПФ перейдем к относительным величинам. В качестве базы возьмем данные за один год.

В этом случае мультипликативная ПФ запишется следующим образом:

Х / Х₀ = (К / К₀ )^α1 * (L / L₀)^α2 (7)

Где Х= Х₀ * К^α1 / К^α1₀ * L^α2 / L^α2₀ = (X₀ / K^α1₀ * L^α2₀) * K^α1 *L^α2 (8)

Или Х = А * К^{α1 *} L^α2 (9)

Где А = X ₀/ K^α1₀ * L^α2₀

А - это коэффициент который соизмеряет ресурсы с выпуском.

Запишем формулу (7) в безразмерных величинах:

Х = Х / Х₀; К = К / К₀; L = L / L₀;

X = К^α1*L^α2

Найдем эффективность экономики, т.е. отношение результатов i затратам.

1-ый показатель (частный) - фондоотдача

2 -ой частный показатель - производительность