Специальные функции

При изучении дифракции на круглом отверстии встретился интеграл Фурье преобразования в полярных координатах. В общем виде переход к полярным координатам выглядит следующим образом:

.

(*)

Введем полярные координаты , в исходной плоскости и , в Фурье плоскости соотношениями

(*)

тогда , и интеграл (10) примет вид

.

(*)

Если исходная функция обладает аксиальной симметрией (симметрична относительно оси ), т.е. , то этот двойной интеграл можно свести к повторному интегралу

.

(*)

Значение внутреннего интеграла не может быть выражено через конечное число элементарных функций², но оно, соответственно, может быть представлено в виде бесконечной комбинацией из этих функций, бесконечных рядов, произведений и т.п. В подобных случаях вводят так называемые специальные функции. В данном случае такой функцией является функция Бесселя нулевого порядка, которая определяется как функция параметра, входящего в подынтегральное выражение

.

(*)

Интеграл в выражении (*) сводится к выражению в двойном интеграле (*), поскольку известно, что величины интеграла от периодической функции при интегрировании по любому интервалу, равному этому периоду, одинаковы (надо сделать замену переменной ).

Отметим, что интеграл Фурье преобразования тогда будет иметь вид

(*)

и преобразование Фурье, записанное в таком виде, называют преобразованием Ганкеля (иногда преобразованием Фурье – Бесселя).

В общем случае функции Бесселя зависят от двух переменных и , которые записываются как , где - аргумент, а при целом – порядком, но в общем случае может быть любым комплексным числом. Эти функции определяются следующим интегралом

,

(*)

и выражение (*) является частным случаем (*).

Функции Бесселя при произвольном значении параметра являются решением дифференциального уравнения

.

(*)

Между функциями Бесселя имеются соотношения. Приведем некоторые из них

(*) (*) (*)

Важным является случай

,

(*)

при этом нули функции совпадают с экстремумами , а так же отметим выражение для неопределенного интеграла, используемого при описании дифракции на круглом отверстии

.

(*)

Г

Рис. * Графики функций и

рафики функций и приведены на рис (*).

Значения корней функций для приведены в таблице

№ корня	1	2	3	4	5	6	7
	2.404	5.520	8.6538	11.7916	14.9310	18.0710	21.2116
	3.8317	7.0156	10.1735	13.3237	16.4706	19.6159	22.7601

Существуют и другие специальные функции. Многие из них появляются при решении задач, связанных с оптикой. В частности в теории дифракции используются интегралы Френеля, значения которых не представимо элементарными функциями. В лазерных технологиях для описания модового состава излучения применяются функции Гаусса-Эрмита и Гаусса - Лагерра, которые хотя и можно выразить через элементарные функции, но удобнее их считать самостоятельными специальными функциями.