Решение волнового уравнения

Вопросами, связанными с анализом и решениями уравнений в частных производных занимается специальный раздел математики "Уравнения математической физики". Уравнения такого класса занимают, пожалуй, первое место в прикладной математике, поскольку подавляющее большинство физических явлений описываются с их помощью. Отмеченный раздел математики, несмотря на его актуальность, является достаточно сложным для его полного изложения, поэтому ограничимся решением и анализом одного из его типов – волнового уравнения от двух переменных - пространственной и временной. Это уравнение является основным при анализе распространения электромагнитных колебаний.

Волновое уравнение относится к дифференциальным уравнениям в частных уравнениям гиперболического типа и в общем случае имеет вид

,

(*)

где - оператор Лапласа, - искомая скалярная или векторная функция (в последнем случае это уравнение представляет систему трех уравнений для каждой компоненты ), - некая постоянная.

В рассматриваемом случае вид уравнения упрощается

.

(*)

Это уравнение сравнительно несложно решается методом замены переменных. Введем переменные и соотношениями

(*)

Сделаем замену переменных

(*)

так как и .

По аналогии найдем

(*)

так как , и .

Подставляя полученные выражения в исходное уравнение, получим

.

(*)

Интегрируя обе части этого выражения по , получим , где - произвольная функция, зависящая от . Повторяя интегрирование по , получим

,

(*)

т

Рис.*

ак как неопределенный интеграл от произвольной функцией от также является произвольной функцией . Постоянная интегрирования при интегрировании по может быть произвольной функцией от , т.е. . Возвращаясь к первоначальным переменным, запишем решение волнового уравнения

. (*)

Смысл этого решения можно понять из рис (*). В начале рассмотрим первое слагаемое, смысл второго получится по аналогии. Очевидно, что если , то и , т.е. если временная и пространственная координаты и изменяются так, что

, (*)

то вид функции не меняется. Но выражение (*) является уравнением равномерного движения со скоростью . Таким образом, каждая точка функции , движется со скоростью (рис*А) и за время весь график функции , представляющей собой некое физическое возмущение, без деформаций переместится на расстояние (рис *Б). В свою очередь решение представляет движение некоторого, в общем случае отличного от предыдущего возмущения, с той же постоянной скоростью , но в другую сторону.

Комплексные числа. Функции комплексной переменной

Рис.*

В курсе алгебры вводится мнимая единица соотношением и благодаря этому становится возможном решать уравнения типа , или квадратных уравнений, у которых дискриминант меньше нуля. С ее помощью определяется комплексное число , как

(*)

где и - действительные числа. При этом первое слагаемое, называют действительной частью, а второе слагаемое, которое обязательно с множителем - мнимой частью. Для действительной и мнимой части существуют обозначения и :

(*)

Доказано, что множества комплексных чисел достаточно, чтобы через них выразить решения любых уравнений, т.е. для таких, у которых решение выходит за пределы области допустимых значений функций на множестве действительных чисел.

Комплексные числа являются естественным обобщением действительных чисел и их можно изображать точками на комплексной плоскости в отличие от действительных чисел, изображаемых точками на прямой – числовой оси. По оси абсцисс откладывают - действительную часть, а по оси ординат - мнимую. Помимо записи комплексного числа в форме (*) - которое представляет собой его запись в декартовых координатах, также используется полярная система координат

,

(*)

где - т.н. модуль комплексного числа, для которого существует специальное обозначение , - фаза. Параметр - номер четверти (квадранта) плоскости комплексных чисел, где находится число .

Для комплексных чисел вводится понятие сопряженного числа. Таким числом является такое комплексное число, у которого знак мнимой части противоположен. Такое число обозначается как . Т.е. если , то .

Арифметические действия над комплексными числами такие же, как алгебраические действия над двучленами. Если и то

	(*)
	(*)
,	(*)

где учтено, что .

На основании полученных формул можно доказать, что сумма и произведение комплексно сопряженных чисел есть число действительное, а произведение их равно модулю комплексного числа (*), который иначе обозначается (по аналогии с действительными числами) как , т.е. .

Действительно

	(*)
.	(*)

С помощью этих соотношений можно теперь написать выражение для частного от деления двух комплексных чисел

(*)

Здесь был использован прием умножения числителя и знаменателя дроби на комплексно сопряженное знаменателю число.

Из определения понятия функции (числовой) как правила соответствия числа из одного множества числу из другого множества можно определить функцию комплексного переменного, где аргументом и значением функции являются комплексные числа. Эти функции, вообще говоря, имеют свои особенности, отличающие их от функций действительного переменного. Однако в настоящем изложении мы будем считать, что все действия с функциями, имеющих комплексные параметры, не отличаются действий с обычными действительными функциями.

Функция комплексной переменной обладает очень важным свойством – значение комплексно сопряженной функции некоторого комплексного аргумента равна значению этой функции, но от комплексно сопряженного аргумента. Фактически это означает, что в записи выражения для функции, там, где встречается мнимая единица , у нее надо изменить знак на противоположный

(*)

Основной такой функцией, которая будет встречаться в настоящем курсе - это экспонента с комплексным показателем степени. Алгебраические преобразования, а так же формулы дифференцирования и интегрирования не отличаются от экспоненты с действительным показателем.

Основным соотношением для такой экспоненты является формулой Эйлера

.

(*)

Ее использование существенно сокращает объем выкладок, поскольку преобразование выражений с экспонентами намного компактнее, чем тригонометрических функций. Из этой формулы легко получить выражения для косинуса и синуса через экспоненту. Действительно можно написать

(*)

Почленно складывая и вычитая эти равенства, можно получить

; .

(*)

С помощью этих выражений можно найти функцию, описывающую распределение освещенности в картине интерференции двух пучков с комплексными амплитудами и

(*)

Также на основе полученных формул можно получить выражение для распределения освещенности в картине дифракции в приближении Фраунгофера от щели

,

(*)

где - волновое число, - координата в фокальной плоскости объектива, где наблюдается дифракция, - фокусное расстояние объектива, - ширина щели.