Приложение Элементы векторного анализа. Теория поля

Если в каждой точке М определенной пространственной области задано значение некоторой скалярной или векторной величины, то говорят, что задано поле этой величины (соответственно скалярное или векторное). Примером скалярного поля можно считать распределение температур в некотором объеме как функцию координат

.

(*)

Векторным полем является, например, зависимость компонентов напряженности электрического поля от координат в некоторой области пространства

(*)

При расчетах, связанных с анализом электромагнитных полей (и других), появляются некоторые, часто встречающиеся последовательности дифференциальных операторов, а также интегральные теоремы, использующие эти операторы. Эти операторы объединены в последовательности, а им присвоены названия. Применение этих операторов делают математические выкладки значительно компактнее. Следует отметить, что этот аппарат первоначально был разработан именно для электромагнитных полей, что следует из названия "теория поля". В дальнейшем этот аппарат стал применяться в других областях науки и техники, таких как гидро - и аэродинамика, теории упругости и во многих других. Математический аппарат "теории поля", несмотря на то, что ему уже порядка 100 лет, является одним из наиболее востребованных в настоящее время. Владение этим аппаратом свидетельствует о высоком уровне математической подготовке исследователя.

Дифференциальные операторы следующие: градиент, ротор, дивергенция, оператор Лапласа и оператор Гамильтона или оператор "набла".

Если в некоторой области задано скалярное поле , то вектор

(*)

называется градиентом величины в соответствующей точке, т.е. этот оператор ставит в соответствие скалярной функции вектор. Примерами градиента являются:

1. Если гравитационное поле Земли, то градиентом будет вектор ускорения

свободного падения;

2. Если распределение потенциала вокруг некоторой системы электрических зарядов, то градиентом будет вектор напряженности этого электрического поля .

3. Если поверхность волнового фронта в оптике, то градиентом будет вектор направления луча света .

Если в некоторой области задано векторное поле где – функции от , то ротором называется вектор, определяемый следующим образом:

(*)

Таким образом, ротор ставит в соответствие вектору вектор. Смысл ротора можно понять из следующего примера из механики. Известно, что поле скоростей движущегося твердого тела получается как результат сложения поступательного и вращательного движения

,

(*)

где - скорость поступательного движения некоторой точки , - мгновенная угловая скорость вращения тела, - радиус – вектор, соединяющий точку произвольной точкой тела. Координаты скорости будут

.

(*)

Вычисляя значение ротора по формулам (*) найдем, что его компоненты будут

,

(*)

т.е. ротор равен удвоенной угловой скорости, откуда и вытекает название этого оператора. В электродинамике смыслом этого оператора является, что вокруг проводника с током возникает магнитное поле, силовые линии которого представляют собой окружности, концентричные проводнику, а проводник как бы является осью вращения. Это очень грубая модель, но она позволяет представить себе физический смысл этого оператора.

Дивергенцией векторного поля , где – функции от , называется оператор, определяемый как

.

(*)

Э

Рис.*

тот оператор ставит в соответствие вектору скаляр. Смысл этого оператора легко понять из рис.(*). Предположим, что в некотором пространстве существует - поток вектора - жидкости или какого то поля, например электромагнитного (поток поля представляется силовыми линиями). Выберем в пространстве бесконечно малый объем в виде параллепипеда, через который проходит часть этого потока. Рассмотрим поток, распространяющийся вдоль оси , входящий в грань и выходящий через грань . Входящий поток в общем случае не равен входящему , так как внутри параллепипеда могут быть источник потока поля (заряды) или его приемники (в случае жидкости – сливные отверстия). Разность этих потоков , где и площади граней и , при этом , будет

.

(*)

Проделывая такую процедуру для остальных двух пар граней, получим

(*)

так как объем параллепипеда, то

.

(*)

Таким образом, дивергенция поля представляет собой изменение потока вектора внутри элементарного объема.

В приложениях часто встречается оператор Лапласа. Он обозначается символом (дельта) и имеет вид

.

(*)

Он применим как к векторным, так и к скалярным полям. С его помощью весьма компактно записывается волновое уравнение. Если поле скалярное, то следующие записи этого уравнения будут эквивалентны

(*)

Если же поле - векторное, эквивалентными будут выражения

(*)

Компактность записи уравнения в этом случае несомненна.

Внешне несколько похож на оператор Лапласа оператор Гамильтона, обозначаемый как (набла). Он является векторно-дифференциальным, поскольку имеет свойства, как вектора, так и оператора дифференцирования и выглядит следующим образом

(*)

С его помощью можно записать единым образом все, ранее описанные дифференциальные операторы. Если скалярное поле, то результатом будет градиент - вектор, что и должно быть при умножении вектора на скаляр

(*)

Если векторное поле, то в силу того, что имеется два типа произведения векторов – векторное и скалярное, существует и два вида воздействия оператора на поле . Если осуществляется скалярное произведение, то его результатом должен быть скаляр – в данном случае дивергенция

(*)

Если произведение векторное, то получится ротор - вектор

.

(*)

С помощью оператора можно получить большое число формул векторного анализа, касающихся применения операторов к комбинациям дифференцируемых функций, так и получения выражений для последовательности двух операторов, которая называется дифференциальным оператором второго порядка. Покажем это на нескольких примерах. Полный список этих формул будет приведен позже.

Получим выражение для дивергенции произведения скалярной функции и векторной , т.е. . решение будет состоять из двух этапов, вначале дифференцирования произведения, а затем применения операторов

= + =

(*)

В качестве примера оператора, эквивалентного последовательности операторов , встречающегося при выводе волнового уравнения из уравнения Максвелла.

.

(*)

Воспользуемся формулой двойного векторного произведения . Применяя ее к выражению (*), получим

( )-( ) ,

(*)

так как - оператор Лапласа.

Приведем сводку формул дифференциальных операторов второго порядка, включая уже полученную (*).

;	(*)
;	(*)
или из (*) ;	(*)
;	(*)
.	(*)

Так же приведем сводку формул результатов дифференциальных операций над произведениями скалярных и векторных функций.

;	(*)
;	(*)
;	(*)
	(*)
	(*)
	(*)

где и - произвольные векторные функции, и - скалярные функции, оператор представляет собой выражение , где вектор.

Приведем так же без доказательства две очень важных интегральных теоремы теории поля – теорему Стокса и теорему Остроградского – Гаусса.

Теорема Стокса. Пусть в пространстве, где определено векторное поле , существует контур , и взята некоторая произвольная поверхность , которая "натянута" на этот контур. Тогда, циркуляция вектора по контуру , (интеграл по замкнутому контуру вектора ) равен потоку вектора через поверхность . Математически это выглядит как

Рис.(*)

. (*)

С помощью этой формулы осуществляется перевод двух первых уравнений Максвелла в интегральной форме в дифференциальную. Действительно, если для определенности взять первое уравнение Максвелла

.

(*)

Если к правой части этого уравнения применить теорему Стокса, то

.

(*)

Тогда

.

(*)

Так как области интегрирования у интегралов в левой и правой части одинаковы и произвольны, то равны и подынтегральные выражения, откуда следует выражение для первого уравнения Максвелла. Аналогично получается и второе уравнение Максвелла

.

(*)

Теорема Остроградского-Гаусса. Эта теорема формулируется следующим образом. Поток вектора через замкнутую поверхность равна интегралу от дивергенции вектора по объему, заключенному внутри этой поверхности.

(*)

Эта формула позволяет получить третье и четвертые уравнения Максвелла в дифференциальном виде. Если, например, для третьего уравнения Максвелла в интегральном виде

(*)

применить теорему Остроградского-Гаусса

,

(*)

то

.

(*)

Так как здесь так же, как и в предыдущем случае области интегрирования произвольны, то из равенства интегралов вытекает равенство подынтегральных функций

,

(*)

т.е. получено третье уравнение Максвелла в дифференциальной форме.