Блок-схема алгоритму обліку визначеного інтегралу методом Ньютона - Котеса Функція «Інтеграл»

1

2

2

1

3

3

4

4

5

Ні

5

Так

6

Мал. 26

Алгоритми апроксимації і інтерполяції функції

Інтерполяція функції Y(X), яку задано координатами вузлів {Y_i (X_i)}_n+1 (i[0; n]) полягає в обліку значення Y(X) по довільному значенні X, яке знахо­дять­ся між абсцисами {X_i}_n+1 вузлів.

Для отримання однозначного розв’язання цієї проблеми під час інтерполя­ції функція Y(X) замінюється інтерполяційним поліномом:

P (X) = A₀ + A₁ • X + ... + An • Xⁿ ,

значення якого P (Xi) у вузлах точно співпадають з Yi (Xi).

Апроксимація функції Y(X) полягає у побудуванні гладкої кривої згідно заданих пар координат вузлів {Y_i(X_i)}_n+1 (i[1; n]).

Алгоритм до методу інтерполяції поліномами Лагранжа

Найбільш поширеним методом інтерполяції таблично заданих функцій при довільному розташуванні вузлів є метод інтерполяції поліномами Лагра­н­жа. Метод передбачає облік Y (Xs) у довільній точці Xs, яка належить до сег­менту [X_{i min}; X_{i max}], за формулою:

_{n n} (Xs - X_j)

Y (Xs) =  (Yj •  ), i  j.

^{j=0 i=0} (X_j - X_i)

Алгоритм до методу апроксимації та інтерполяції в-сплайнами

Універсальним і найбільш поширеним методом апроксимації таблично за­даних функцій при довільному розташуванні вузлів є метод В-сплайнів.

В-сплайн - це група кубічних багаточленів, у місцях сполучення яких пер­ша і друга похідні безперервні. Для їх побудування необхідно задати коефіціє­нти, що однозначно визначають багаточлен у проміжку між наданими точками. Згід­но методу В-сплайнів із заданої послідовності вузлів обираються два сусід­ніх вузли і між ними будується крива кубічного поліному на основі позицій чо­тирьох вузлів - двох вже згаданих і двох сусідніх.

Якщо використати параметричне уяв­лення кривих, то ябиякі точки між за­даними послідовними точками P i Q будуть мати координати Xt i Yt, де t зро­стає від 0 до 1:

Xt = ((a₃ · t + a₂) · t + a₁) · t + a₀

Yt = ((b₃ · t + b₂) · t + b₁) · t + b_0,

, причому:

a₀ = ( x_i-1 + 4 · x_i + x_i+1) / 6 b₀ = ( y_i-1 + 4 · y_i + y_i+1) / 6

a₁ = (-x_i-1 + x_i+1) / 2 b₁ = (-y_i-1 + y_i+1) / 2

a₂ = ( x_i-1 - 2 · x_i + x_i+1) / 2 b₂ = ( y_i-1 - 2 · y_i + y_i+1) / 2

a₃ = (-x_i-1 + 3 · x_i - 3 · x_i+1 + x_i+2) / 6 b₃ = (-y_i-1 + 3 · y_i - 3 · y_i+1 + y_i+2) / 6.

Приклад побудованого В-сплайну для множини точок наведено на мал. 27.

Для інтерполяції таблично заданої (дискретної) функції у точці Xs достат­ньо під час обліку (Xt, Yt) змінювати параметр t із кроком  ( - точність інтер­поляції); тоді, якщо |Xs - Xt| <= , то точка Yt співпадає із точкою Ys із похиб­кою .

Блок-схеми алгоритмів до методів інтерполяції і апроксимації наведено на мал. 28.