1. Прямий хiд

Призначають i-ий рядок матрицi коєфiцiєнтiв ведучим (i=[1;n-1]), а еле-мент Aii головної дiагоналi матрицi у цьому рядку - ведучим елементом. Нор-мують усi коєфiцiєнти кожного j-го рiвняння (j=[i+1;n]). Для цього розрахову­ють фактор-спiвмножник рядка j за формулою : fij = Aji / Aii i перетворюють його коєфiцiєнти i вiльнi члени за формулами :

Ajk = Ajk - f • Aik,

Bj = Bj - f • Bi , k  [i+1; n].

Подiбне перетворення усiх рядкiв матрицi призводить до виключення Xi з усiх рiвнянь системи (1), окрiм i-го. Далi збiльшують значення змiнної i та пов­­­торю­ють перетворення коєфiцiєнтiв. Пiсля вищеописаної обробки усiх (n-1) рiвнянь роз­ширена матриця коєфiцiєнтiв має трикутний вигляд.

Етап прямого ходу завершується, коли одне з рівнянь стає рівнянням із однією невідомою.

2. Зворотній хiд

З останнього рiвняння (n-го рядка матрицi), отриманого пiсля m-ої iтера­цiї, розраховують Xn за формулою :

X^(m)_n = B^(m)_n / A_nn

i зворотньою пiдстановкою послiдовно знаходять невiдомi {Xi}, i=[n-1;1] згiдно виразу :

_n

B_i -  A_ij • X_j

^j=i+1

X_i =  .

Aii

Блок-схему алгоритму методу хорд наведено на мал. 21.

Кількість (N) арифметичних операцій для реалізації методу Гауса ста­новить:

2

N ≈ — · n²

3

Блок-схема алгоритму методу Гауса

1

8

9

2

10

3

4

11

5

13

Ні

6

12

Мал. 21

14

7

Алгоритми розв’язання диференціального рівняння

У багатьох практичних задачах користувач зіштовхується з необхідністю розв'язання рівнянь, що містять одну або декілька похідних. До розв'язання та­ких рівнянь, що, як правило, описують поводження об'єктів керування, зводи­ть­ся розгляд різноманітних автоматичних електронних систем, наприклад, опис ке­рованих технологічних процесів, моделювання систем автоматичного керу­ван­ня у реальному масштабі часу, синтез керуючих систем.

Звичайним диференціальним рівнянням називається вираз вигляду:

f ⁽ⁿ⁾ (X, Y, Y', Y", ... , Y) = 0,

де X - незалежна змінна, Y - шукана функція від X, (Y', Y",...) - похідні. Поря­док n старшої похідної визначає порядок диференціального рівняння. Звичай­не диференціальне рівняння має безкінечну множину розв’язань. Для одер­жання конкретного розв'язання необхідні додаткові умови. У випадку, коли додаткові умови задаються при одному значенні незалежної змінної, має місце задача Ко­ші (іншими словами задача з початковими умовами):

Задано диференціальне рівняння Y'=f(X,Y) і початкову умову Y(X₀)=Y₀. Необхідно на сегменті [A;B] знайти функцію Y(X), що задоволь­няє як зазна­че­ному рівнянню, так і початковій умові. З геометричної точ­ки зору необхідно знайти криву Y(X), що проходить через задану точку (X₀,Y₀).

У більшості задач коефіцієнти або функції в диференціальних рівняннях за­даються у вигляді таблиць експериментальних даних, тому використання ана­лі­тичних методів розв'язання диференціальних рівнянь або принципово немож­ли­во, або призводить до громіздких розрахунків. Це обумовлює важливість ана­лі­зо­ваних тут чисельних методів розв'язання диференціальних рівнянь, що мо­жуть бу­ти реалізовані на комп'ютері і дати приблизне розв'язання задачі з напе­ред за­да­ною точністю. Чисельні методи розв'язання диференціальних рівнянь по­лягають у розкладанні функції Y(X) у ряд Тейлора в h-оточенні точки Xo:

h2 hi

Y(Xo + h) = Y(Xo) + h • Y'(Xo) + — • Y"(Xo) + ... + — • Y⁽ⁱ⁾(Xo)

2! i!

, де h - відстань (крок) між вхідною точкою Xo і точкою Xi = Xo + h, у якій шу­кається розв'язання.