Алгоритми до методу Эйлера

Найбільш простим методом, що потребує мінімальних витрат обчислю­вальних ресурсів, але має порівняно низьку точність, є метод Эйлера. У цьому методі для оцінки точки на кривій Y = f(X) використовується тільки один ліній­ний член формули Тейлора:

Y(Xo + h) = Y(Xo) + h · f (Xo,Yo)

, де f (Xo,Yo) - права частина вхідного диференціального рівняння. Цей процес можна розповсюдити на наступні кроки:

Y_i+1 = Y_i + h • f (X_i,Y_i).

Метод Эйлера, крім значної помилки усікання (вона близька до h), часто буває хитливим (малі початкові помилки призводять до значного збільшення глобаль­них), тому на практиці користуються ітераційною формулою:

h h

Y_i+1 = Y_i + h • f [X_i + —, Y_i + — • f (X_i, Y_i)]

2 2

модифікованого метода Эйлера (мал. 22). Зменшення помилки методу при цьо­­му дося­гається за рахунок поліпшення апроксимації похідною. Ідея полягає у спробі оцінити член другого порядку у формулі Тейлора.

Y

h

h

h

X

X_n

0

X_n+1

Y_n

(X_n+h,Y_n+h·Y'_n)

(X_n,Y_n)

Мал. 22

Диференціальне рівняння другого порядку Y" = f (X,Y,Y') із початко­ви­ми умовами: Y(Xo) = Xo і Z(Xo) = Zo можна звести до системи двох рівнянь пер­шо­­го порядку:

Z' = f (X, Y, Z)

Y' = g (X, Y, Z) = Z

, причому Y(Xo) = Yo і Z(Xo) = Y'(Xo). Тоді ітераційна формула Эйлера пере­тво­рюється у вираз:

Y_i = Y_i + h · Z_i

Z_i = Z_i + h · f (X_i, Y_i, Z_i)

, де f (X_i, Y_i, Z_i) - права частина вхідного диференціального рівняння.

Блок-схеми алгоритмів до методів Ейлера наведено на мал. 23, 24.

Алгоритми до методу Рунге - Кутта

Ще більш високої точності можна досягти при розрахунку вищих похід­них і зберіганні більшої кількості членів ряду Тейлора. Таким методом є метод Рунге - Кутта. Метод Рунге - Кутта дає набір формул для розрахунку коор­ди­нат внутрішніх точок, яких потребує реалізація ідеї прогнозування повод­жен­ня (ап­роксимації в кінцево-різницевому вигляді) другої і більш високих похід­них. Як правило, використовується метод четвертого порядку точності:

K₁ + 2• K₂ + 2• K₃ + K₄

Y_i+1 = Y_i + ———————————

6

, де:

h K₁

K₁ = h • f (X_i,Y_i); K₂ = h • f (X_i + —; Y_i + —);

2 2

h K₂

K₃ = h • f (X_i + —, Y_i + —); K₄ = h • f (X_i + h, Y_i + K₃).

2 2

Метод Эйлера і його модифікації, по суті, є методами Рунге - Кутта першого і другого порядків. Метод Рунге - Кутта має достатньо високу точність (по­хибка близька до h⁴) і дозволяє збільшити крок інтегрування. Кожну з формул Рунге-Кутта можна використовувати для розв'язання диференціальних рівнянь більш високих порядків і, тому, для розв'язання систем диференціальних рів­нянь, ос­кі­льки рівняння порядку n можна звести до n диференціальних рівнянь першо­го по­рядку.

Розгляньмо розв'язання звичайного диференціального рівняння другого по­рядку Y" = f (X,Y,Y'). Нехай Z = Y', тоді:

Z' = f (X, Y, Z)

Y' = g (X, Y, Z) = Z.

Задача Коші у цьому випадку містить дві початкових умови: Y(Xo) = Yo і Z(Xo) = Zo. Формули ж Рунге-Кутта при цьому мають вигляд:

Y_i+1 = Y_i + K; Z_i+1 = Z_i + U;

K₁ + 2• K₂ + 2• K₃ + K₄ U₁ + 2• U₂ + 2• U₃ + U4

K = ———————————; U = ——————————.

6 6

Тут:

K₁ = h • g (X_i, Y_i, Z_i), U₁ = h • f (X_i, Y_i, Z_i),

h K₁ U₁ h K₁ U₁

K₂ = h • g (X_i + —; Y_i + —; Z_i + —), U₂ = h • f (X_i + —; Y_i + —; Z_i + —),

2 2 2 2 2 2

h K₂ U₂ h K₂ U₂

K₃ = h • g (X_i + —; Y_i + —; Z_i + —), U₃ = h • f (X_i + —; Y_i + —; Z_i + ­—),

2 2 2 2 2 2

K₄ = h • g (X_i + h; Y_i + K₃; Z_i + U₃), U₄ = h • f (X_i + h; Y_i + K₃; Z_i + U₃).

Блок-схеми алгоритмів до методів Рунге - Кутта наведено на мал. 23, 24.