ЛАбы за 1 семестр. Может кому-то понадобятся / Лаба№8(физика)

Лабораторная работа №8

Исследование движения маятника Максвелла

Цель работы:

1. Изучение особенностей движения маятника Максвелла.

2. Рассмотрение превращения механической энергии маятника из одной формы в другую и диссипацию этой энергии.

Введение

Маятник Максвелла представляет собой механический диск 1, жестко насаждённый на середину тонкого вала 2, изготовленного из металлической

трубки или стержня (рис 1). На диск одето кольцо 3 для увеличения момента энергии маятника. К валу симметрично относительно центра маятника прикреплены две нити 4. Другим концом каждая нить закреплена на неподвижном кронштейне 5. Вращением вала нити тщательно виток к витку наматываются на вал до тех пор, пока маятник не поднимается до верхнего положения. Там он удерживается с помощью электромагнита.

При отключении электромагнита маятник начинает опускаться вниз, одновременно раскручиваясь вокруг оси вала. Такое сложное движение удобно представить в виде двух простых движений: поступательного и вращения вокруг неподвижной оси.

Поступательные движения маятника полностью характеризуются движением одной точки, например, центра масс.

Учитывая относительную малость сил сопротивления с силой тяжести маятника и силами натяжения нитей можно в пером приближении ими принибреч. В этом случае поступательные движения маятника сверху вниз будет происходить с постоянным ускорением . Оно направлено вертикально вниз и численно определяется, как

где Н – расстояние между крайним верхним и нижним положением маятника, а t – время, за которое маятник проходит это расстояние, двигаясь без начальной скорости с ускорением .

Угловое ускорение вращения маятника ε связано с ускорением поступательного движения простым соотношением:

где r – равно сумме радиусов вала r₁ и нити r₂, если нить представляет собой цилиндрическую жилку, например, из капрона.

Из связи между скоростью υ и ускорением , угловой скоростью ω и ε, когда υ₀=0 и ω₀=0, получаем, что:

(1)

Особо отметим, что входящие в эти уравнения t₁ – есть время, за которое маятник опускается из верхнего в нижнее положение. Тогда как t соответствует одному из моментов времени движения маятника между этим положениями (0<t<t₁), если в (1) вместо t подставить t₁, то получается значение скорости поступательного движения v и угловой скорости вращательного движения ω маятника в точке:

(2)

Колебания маятника Максвелла является хорошей иллюстрация перехода механической энергии из одной формы в другую и рассеяние (диссипации) механической энергии. Напомним, что механической энергией тела или систем называется сумма кинетической и потенциальной энергии тела (или системы тел). Переход энергии из одной формы в другую определяется действующими на тело силами (или силами взаимодействия между телами).

В механике принято все силы (по их влиянию на механическую энергию системы тел) делить на диссипацию, консервативные и гироскопическую.

Диссипативными называются силы, которые, приводят к рассеянию (диссипации) механической энергии. К ним относятся сила трения.

Различают несколько разновидностей сил трения: силы сухого трения, вязкого трения, внутреннего трения в твёрдых телах и др. Силы сухого трения возникают при движении одного твёрдого предмета по поверхности другого. Например, при движении твёрдого бруска по поверхности стола, возникает сила сухого трения между бруском и столом. Если же на брусок нанести слой смазки, то теперь уже перемещение бруска по поверхности стола сопровождается скольжением одних слоев смазки относительно других. Возникает при этом сила трения и называется вязкого трения. Сила вязкого трения появляется при движении одного слоя газа или жидкости относительно другого при движении твёрдых предметов в газовой или жидкой среде.

Гироскопическими называют такие силы, которые действуют на тело в направлении, перпендикулярном к траектории движения. Они не совершают работу, а только направление скорости тел. К гироскопическим силам относятся, например, сила , действующая на электрический заряд g, движущая в магнитном поле с индукцией со скоростью . Еще в 1834 году Лоренцем было установлено, что перпендикулярно и и вычисляется по формуле:

Впоследствии эта сила была названа магнитной составляющей силой Лоренца.

Замечание. Выше отмечалось, что в замкнутой системе, при наличии диссипативной силы, происходит непрерывное уменьшение механической энергии. Куда же она пропадает, ведь система замкнута? Согласно закону сохранения полной энергии, можно сказать, что убыль механической энергии сопровождается её переходом в другие виды энергии, в частности, во внутреннюю энергию тел системы, в энергию теплового движения.

Применим сказанное к движению маятника Максвелла. Но теперь уже будем учитывать силы сопротивления, приводящие к диссипации механической энергии маятника. В верхнем положении маятник обладает потенциальной энергией взаимодействия с Землёй. Это взаимодействие осуществляется силами тяготения, которые относятся к консервативным силам. примем потенциальную энергию маятника в нижнем положении за нуль. Тогда в верхнем положении она составит: П = mqH. Здесь Н – расстояние между верхним и нижнем положением маятника.

По мере опускания маятника его потенциальная энергия постепенно переходит в основном в кинетическую энергию поступательного движения. В нижней точке направление поступательного движения маятника изменяется на противоположное. В этот момент кинетическая энергия поступательного движения переходит в потенциальную энергию упругой деформации нитей. Энергия упругой деформации нитей затем вновь переходит в энергию поступательного движения маятника из нижнего в верхнее положение. Однако маятник не поднимается до начальной высоты Н, а остаётся на некоторой высоте h<Н. при этом его потенциальная энергия станет равной mgh. Разница значений потенциальной энергии mgH и mgh будет равна, согласно выше сказанному, работе затраченной на преодоление сил сопротивления, то есть работе диссипативных сил, взятой с обратным знаком.

(3)

Знак минус показывает, что диссипативные силы в рассматриваемом случае, совершает отрицательную работу.

Если взять металлический стержень и подвергнуть его деформации изгиба, кручения, растяжения или сжатия так, чтобы после снятия нагрузки он не вернулся к исходной форме (сохранилась бы остаточная деформация), то вновь мы столкнёмся с силой трения. Но в этом случае сила трения называется силой внутреннего трения в твёрдых телах. Она возникает в тех областях деформируемого стержня, где происходит не упругое смещение одних атомных слоёв металла относительно других, где возникает или перераспределяются дефекты, где имеет место неупругое смещение друг относительно друга микрокристаллические вещества стержня и т.п.

Силы взаимодействия между телами называются консервативными, если они создают потенциальное силовое поле. К консервативным силам относятся, в частности, силы кулоновского взаимодействия между электрическими зарядами, между заряженными телами. Они обуславливают постесилы (силы тяготения) также являются консервативными. Они обуславливают гравитационную, потенциальную энергию тел.

Важной особенностью консервативных сил является то, совершаемая ими работа равна убыли, точнее, разности между начальным и конечным значением потенциальной энергии взаимодействующих тел. Отсюда следует, что работа консервативных сил вдоль любой замкнутой кривой равно нулю. Если между телами действуют только консервативные силы, то вся убыль потенциальной энергии замкнутой системы идёт на увеличение кинетической энергии тел этой системы. Поэтому в любых замкнутых системах, между телами которых действуют только консервативные силы, сумма кинетической и потенциальной энергии этой системы остаётся постоянной. Сумма кинетической и потенциальной энергии тел системы называется механической энергией этой системы. С использованием понятия механической энергии выше сказанное утверждение может формулироваться так: в любой замкнутой системе, между телами которой дейсвуют только консервативные силы, механическая энергия остаётся неизменной. Это утверждение называется законом сохранения механической энергии замкнутой системы.

Когда между движущими телами замкнутой системы одновременно действуют диссипативные и консервативные силы, то механическая энергия системы уменьшается со временем. Строго доказывается, что убыль механической энергии замкнутой системы как раз равна работе, совершаемой диссипативными силами системы.

Итак, если обозначить кинетическую систему через Т, потенциальную П, а механическую энергию Е, то можем написать

Е=Т+П

где Е₁ и Е₂ – механическая энергия системы до и после совершения диссипативными силами работы А_дис соответственно.

Работу, совершаемую маятником против сил трения при опускании из верхнего положения в нижнее можно вычислить, как

(4)

то есть как разность между полной механической энергией маятника в верхнем положении, равной mgH и нижнем положении, равной сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений.

Экспериментальная часть

Подробно техника выполнения работы изложена в инструкции на лабораторном стенде. Поэтому ограничимся кратким пересказом её.

1. Десять раз измеряют время опускания маятника t₁ и высоту поднятия h. Данные заносятся в таблицу и обрабатывают по алгоритму обработки результатов прямых измерений. Результаты обработки также заносят в таблицу.

№ опыта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
t1, c
h, м

2. Вычисляют среднее значение υ₁ и ω₁, подставив в (2) среднее значение . Затем в (4) подставляют значения и вычисляют среднее значение работы А₁, совершаемое маятником против силы трения при опускании из верхнего в нижнее положение.

3. Вычисляют среднее значение работы А_дис, совершаемой силами сопротивления (трения) за один цикл опускания и подъёма маятника. Для этого в (3) подставляют среднее значение . Затем находят ошибку измерения ΔА_дис как

4. Работа завершается анализом полученных результатов и выводом по ним.

Ход работы:

1. Закрутили маятник Максвелла. При этом максимальная высота закрученного маятника 42 см=0,42м; радиус механического круга равен 3; масса составила 542г=0,542кг. Затем маятник отпустили, заметили, что с каждым разом он подымался на меньшую высоту и с каждым разом время опускания и подъёма маятника становилось меньше. Почему же так происходит? Дело в том, что маятник во время своего движения обладает кинетической и потенциальной энергией, причём одна переходит в другую. Его полная механическая энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергии, рассеивается в пространстве. В результате чего его колебания затухают с течением времени. Следующим этапом для нас стало заполнение таблице:

№ опыта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
tопус ,с	3,24	3,12	2,67	2,5	2,15	1,8	1,7	1,6	1,5	1,2
tпод, с	2,8	2,6	2,3	2,15	2,0	1,9	1,7	1,6	1,5	0,9
h, м	36	33	30	24	22	19	18	17	16	12,5

По таблице вычисляем средние значения t_опуск , t_под , h. Для этого пользуемся формулой:

с

с

Цена деления (ΔН) равна 1мм=0,001м, а мы знаем, чему равна Н – начальная высота положения маятника. Мы можем найти .

вычислим:

0,42м – 0,001м=0,419м,

Так же зная массу маятника и его радиус мы можем найти момент инерции: J=[mr²], 0,542кг*9=4,878кгм².

2. По формуле (2) вычисляем значение υ и ω, подставляя средние значения выше найденных величин:

Затем подставляя средние значения в (4), вычислим среднюю работу (А).

3. Вычислили среднее значение работы А_дис, совершаемой силами сопротивления (трения) за один цикл опускания и подъёма маятника. Для этого в (3) подставляют среднее значение .

Рассчитаем ошибку измерения ΔА_дис по формуле

В ходе работы мы установили, что движение маятника представляет собой сумму поступательного и вращательного движения. Движение маятника происходит с постоянным ускорением, которое направлено вертикально вверх. Колебания маятника Максвелла хорошим примером перехода механической энергии из одной формы в другую.