Вычисление двойного интеграла
1) Если граница области D пересекается всякой прямой x = c (c - const) не более чем в двух точках, то область D называется правильной в направлении оси OX. Ограниченная область D , правильная в направлении оси ОХ, задается неравенствами:
a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x),
где φ1(x), φ2(x) - функции, непрерывные на отрезке [a, b] (рис.2).
В этом случае двойной интеграл выражается через повторный интеграл по формуле
(1)
Сначала
необходимо найти определенный
интеграл
по
переменной у предполагая, что х остается
постоянным. Затем результат интегрируется
по переменной х.
Рис.2
рис.3
2). Если граница области D пересекается прямой y = c (c постоянная) не более чем в двух точках, то область D можно задать другими неравенствами:
.
(рис.3)
В этом случае двойной интеграл выражается через повторный интеграл по формуле
(2)
где интегрирование сначала выполняется по переменной х, а затем у.
3). Если
область D
есть прямоугольник со сторонами
параллельными координатным осям и
заданными неравенствами
(рис.4), то двойной интеграл вычисляется
по формуле
или (3)
.
Рис. 4
Двойные интегралы используется при решении многих геометрических и физических задач: вычисление площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел, координат центра тяжести, массы плоской фигуры, статистических моментов плоской фигуры, моментов инерции и т.д. Остановимся только на некоторых.
Вычисление площадей плоских фигур
В прямоугольной системе координат площадь ограниченной правильной в направлении оси ОХ области D: a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x), равна
Вычисление объемов
Объем V тела, ограниченного поверхностью z = f(x,y), где f(x,y) - неотрицательная функция, плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси ОZ, равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области D:
.
Практическая часть-
Пример
1. Вычислите
повторный интеграл
.
Решение. Решим сначала внутренний интеграл по переменной у, считая х постоянным:
..
Теперь вычислим внешний интеграл по переменой х:
.
Ответ: 8.
Пример
2. Вычислите
повторный интеграл
Решение. Найдем внутренний интеграл:
Найдем внешний интеграл:
.
Ответ:
.
Пример
3. Вычислите
двойной интеграл
по области, ограниченной линиями: х=1,
х=4, у=1, у=е.
Областью D является прямоугольник изображенный на рис.5.
Воспользуемся формулой (3):
Ответ: 7,5
рис. 5
Пример
4. Вычислите
двойной интеграл
по области, ограниченной линиями: х=0,
у=х, у=6-х2.
Решение. Изобразим область D на плоскости Оху.
Рис.6
Как видно из рисунка область D является простой как относительно оси Ох, так и относительно оси Оу. Мы можем воспользоваться формулой (1) или (2).
,
Ответ:
.