Дополнительная глава Несобственные интегралы
Пусть дана функция
y=f(x)
непрерывная на интервале
.
Рассмотрим интеграл
.
Т.к. функция f(x)
непрерывна, то он имеет смысл при любом
b>a.
Интерес вызывает интеграл при
.
Определение.
Если существует конечный предел
,
то этот предел называется несобственным
интегралом от функции f(x)
на интервале
и обозначается
.
Следовательно, по определению имеем:
.
(1)
В данном случае говорим, что несобственный интеграл существует или сходится. Если при не имеет конечного предела, говорят, что не существует или расходится.
Выясним геометрический
смысл несобственного интеграла. Как
уже знаем
,
где f(x)
есть площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции f(x),
линиями x=a,
x=b
и осью Ох (рис2). Не трудно догадаться,
что
выражает площадь неограниченной области,
заключенной между линиями y=f(x),
x=a
и осью абсцисс (рис.3).
Аналогично можно
рассмотреть интеграл
при
,
тогда
.
(2)
Несобственный
интеграл
можно определить как сумму двух
интегралов:
, (3)
где с—любое число при условии существования обоих интегралов справа.
Рассмотрим случай,
когда функция y=f(x)
определена и непрерывная на промежутке
,
а в т. x=b
функция либо не определена, либо терпит
разрыв (рис.4).
от функции f(x), разрывной в т. с, определяется следующим образом:
.
Если предел, стоящий справа, существует, то несобственный интеграл называется сходящимся. В противном случае интеграл называется расходящимся.
Если функция f(x)
определена и непрерывна на промежутке
,
т.е. терпит бесконечный разрыв в т. х=a,
то аналогично имеем:
.
Если же функция
f(x)
имеет точку разрыва внутри отрезка
,
например в т. х=с, то
можно представить в виде суммы двух
несобственных интегралов:
.
Практическая часть.
Пример 1. Найти
значение или установить расходимость
несобственного интеграла
.
Решение. По определению собственного интеграла (1) имеем:
Ответ:
.
Пример 2.
Найти значение или установить расходимость
несобственного интеграла
.
Решение. По определению собственного интеграла (1) имеем:
.
Т.к. данный предел не существует, несобственный интеграл расходится.
Ответ. Интеграл расходится.
Пример
3. Вычислить интеграл
.
Решение.
Подынтегральная функция определена
и непрерывна при всех значениях х
и, следовательно, имеет первообразную
.
По
определению имеем:
.
По формуле Ньютона-Лейбница,
;
Пример 4. Найти значение или установить расходимость несобственного интеграла
.
Решение. Представим данный интеграл в виде суммы двух несобственных интегралов:
.
Вычислим первый
интеграл:
Второй интеграл мы уже находили (см. Пример 1) и равен также .
Т.о.
Ответ: π.
Пример 5.
Найти значение или установить расходимость
несобственного интеграла
.
Решение. Функция
f(x)=
имеет точку разрыва х=0 внутри отрезка
.
(см. рис 5).
Поэтому представим интеграл в виде суммы двух интегралов:
.
Вычислим каждый интеграл отдельно:
,
следовательно, интеграл на отрезке
расходится.
Аналогично можно
найти, что
,
следовательно, интеграл расходится на
отрезке
.
Т.о. интеграл расходится на отрезке
.
Ответ. Интеграл расходится.
Для самостоятельного решения.
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
1.
;
2.
;
3.
4.
