Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным ду второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим и решим характеристическое уравнение: .

Тогда общее решение имеет вид:  

Частное решение неоднородного ДУ ищем в виде:

Получаем: α=0, r=0, Q(x)=Ax+B_. 

Т.е. _{, ,}

Ах+В=х, А=1, В=0; Т.о.

Общее решение ДУ имеет вид:

Ответ:

  Пример 5. Решить уравнение:

Решение. Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

;

 Общее решение однородного уравнения: _.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:

_.

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

_;

.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

;

_.

Частное решение имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного уравнения: .

Ответ:

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения:   

Решение. Общее решение исходного уравнения, равного сумме общего решения однородного уравнения  y₀  и частного решения  y_* .

1. Найдем  y₀  . Находим корни характеристического уравнения:

2. Найдем  y_*  . Так как правая часть уравнения    , (α = 1 не является корнем характеристического уравнения, степень многочлена равна одному), то частное решение  y_*  ищем в виде:    Находим

Подставляя  y_* ,  y_*^',  y_*^"  в исходное уравнение, получаем:

Разделив на e^x , после приведения подобных слагаемых получим:

6A+9Ax+9B=2x.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, составляем систему линейных алгебраических уравнений:

найдя решение этой системы:

Записываем общее решение:

Ответ:  

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Общее решение ЛНДУ имеет вид y = y_о+ y_*.

1. Найдем у₀. Решаем характеристическое уравнение , , следовательно, .

2. Найдем частное решение у_*. Правая часть ЛНДУ имеет вид , т.е. не совпадает с корнем характеристического уравнения, то r=0. Тогда частное решение находи в виде .

.

Подставляя в уравнение, получаем

Упрощаем .

Решаем систему уравнений:

A=0,1, B=-0,3.

Следовательно, .

Общее решение

Ответ:

Практические задания

1. Решите уравнение методом понижения порядка

2. Найдите частное решение ДУ.

3. Решите однородное ДУ второго порядка.

4. Найдите общее решение неоднородного ДУ второго порядка.

5. Найдите общее решение неоднородного ДУ второго порядка.

Вариант 1 y///=27sin(3x-5)+4 y//=2x, y(0)=0, y/(0)=1 y//+4y/-3y=0 y//-2y/+y=2х y//-y/-6y=sin2x	Вариант 2 y///=16cos2x y//=6x2, y(0)=0, y/(0)=2 y//-6y/+9=0 y//-3y/+2y=10е-х y//-3y/-4y=cos4x
Вариант 3 y///=48x2-3 y//=sinx, y(0)=0, y/(0)=1 y//-4y/+3y=0 ‘ y//-7y/+6y=sinx y//-2y/-3y=e4x	Вариант 4 y//=24х-6 y//= , y(1)=2, y/(1)=1 y//+4y/=0 2y//+5y/=2cosx y//-7y/+6y=sinx
Вариант 5 у///=sin2x y//= , y(0)=0, y/(0)=1 y//+6y/+9y=0 y//-2y/-8y=2sin2x y//-5y/+6y=6x2	Вариант 6 у///=81sin3x y//= , y(1)=4, y/(1)=1 y//+y/+y=0 y//+25y/=cos5x y//-y/-12y=x-5
Вариант 7 у///=32cos2x y//= , y(0)=0, y/(0)=1 2y//-3y/+y=0 y//+7y/+6y=cosx y//-6y=x2-x	Вариант 8 у///=2cos(2x-1) у//=x-3, y(0)=2, y/(0)=1 y//-2y/+2y=0 y//-y/-6y=3sinx y//-y/=e-2x
Вариант 9 у///=12sin(3x+4) y//=e-x, y(0)=3, y/(0)=2 y//+3y/+y=0 y//-2y/-8y=e2x y//+9y=6cos2x	Вариант 10 у///=9cos2x-2 y//=2-x, y(1)=0, y/(0)=2 y//-6y/+45y=0 y//+2y/+5y=cos2x y//-2y/-35y=xex
Вариант 11 у///=64cos4x+5x y//=3x+1, y(0)=3, y/(0)=4 y//+y/+y=0 y//+y/-20y=e-2x y//+8y=sin4x	Вариант 12 у///=125sin5x+3 y//=-2x-1, y(0)=1, y/(0)=2 y//+4y/+8y=0 y//-8y/+16y=4sinx y//-5y/+4y=x2-3x
Вариант 13 у///=36cos6x-3x2 y//=4x-1, y(1)=3, y/(1)=2 y//-2y/+y=0 y//-7y/+10y=4e3x y//-3y/=sin5x	Вариант 14 у///=100sin10x+x y//=5x+2, y(0)=4, y/(0)=1 y//+2y/+5y=0 y//-7y/=x-2 y//+8y/+7y=-cos3x

Контрольные вопросы:

1. Что называется дифференциальным уравнением n-го порядка?

2. Какой вид имеет дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка? Алгоритм решения таких уравнений.

3. Какой вид имеет линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами?

4. Что такое характеристическое уравнение?

5. Какой имеет вид общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если корни характеристического уравнения: а) действительные и различные; б) действительные и равные? в) комплексные сопряженные?

6. Какой имеет вид общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?