31. Изоморфизм линейных пространств.

Здесь будет показано, что линейные пространства одной и той же размерности в смысле некоторых свойств, связанных с введенными операциями, не отличаются друг от друга.

Два произвольных линейных пространства V и над одним и тем же полем называютсяизоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимнооднозначное соответствие так, что если векторам отвечают соответственные вектора, то векторуотвечает вектор, а векторуприотвечает вектор.

Свойства изоморфных пространств.

1⁰. Нулевому элементу V соответствует нулевой элемент и наоборот.

Док-во: Если .

2⁰. Если элементам соответствуют, то линейная комбинация векторовравна нулюV, т.е. линейная комбинацияс теми же коэффициентамиравна нулю, т.е..

Док-во следует из 1⁰.

3⁰. Если V и изоморфны, то максимальное число линейно независимых векторов в каждом из пространств одно и тоже, т.е. два изоморфных пространства имеют одну и туже размерность.

4⁰. Пространства разных размерностей не могут быть изоморфными.

Теорема: Любые два n-мерных линейных пространства V и над одним и тем же полем изоморфны.

Док-во. Выберем в V базис ­­­− базисКаждому элементу, поставим в соответствие элементс теми же координатамив базисе.

Однако это соответствие взаимнооднозначно, т.к. имеет единственным образом определенные координаты, которые в свою очередь, определяют единственный элемент.

В силу равноправности V и , соответствует единственный. Легко видеть, что еслив силу введенного соответствия.

Т.о., все линейные пространства данной размерности n-ная полем изоморфны, т.е. их свойства, связанные с линейными операциями неразличимы.

36. Преобразование координат вектора при изменении базиса

 Пусть в -мерном линейном пространствевыбран базис, который мы будем для удобства называть "старый" и другой базис, который мы будем называть "новый".Возьмем призвольный векториз. Его координатный столбец в старом базисе обозначим

, а в новом   . Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно "связать" друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису

Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса

Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

 Замечание 18.1   Матрица перехода всегда невырождена, то есть .

Предложение 18.5   Координатные столбцы в старом базисе и в новом базисе связаны формулой

(1)

 где справа стоит произведение матрицы перехода на матрицу-столбец.

        Доказательство.     Так как -- координатный столбец векторав новом базисе, то

Заменив векторы их разложениями по старому базису, получим

В силу предложения 14.3 изменим порядок суммирования

Здесь мы получили разложение вектора по старому базису, причем координата вектора с номеромравна. Элемент с номеромстолбцабудет иметь такой же вид. Следовательно, формула  (1) доказана.