1. Метод Гаусса.

(Карл Фридрих Гаусс немецкий математик)

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁  0, затем:

1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения и т.д.

Получим:

, где d_1j = a_1j/a₁₁, j = 2, 3, …, n+1.

d_ij = a_ij – a_i1d_1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

А* =

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

Замечание:

Метод Гаусса применим к любым СЛАУ. Нетрудно увидеть что такая система всегда имеет одно решение. Если число уравнений меньше числа неизвестных, то такая система не приводима к треугольному виду и кроме нулевого решения имеет много.

2. Метод Гаусса и однородные СЛАУ.

Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю:

Матричный вид однородной системы: Ax=0.

Однородная система в с е г д а  с о в м е с т н а, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение:

x₁=0 , x₂=0 , ..., x_n=0.

Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.

Доказано, что при m=n для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.

Теорема. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение только тогда, когда ранг матрицы этой системы меньше числа неизвестных. Из этой теоремы следует, что однородная система линейных уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение. Если в системе число уравнений равно числу неизвестных, то система имеет ненулевое решение, только тогда, когда определитель системы равен нулю. Однородная система, имеющая одно ненулевое решение, имеет бесконечное множество решений. Для нахождения общего решения однородной системы линейных уравнений используется метод Гаусса. При этом можно ограничиться преобразованием основной матрицы системы, так как столбец свободных членов однородной системы не изменяется и его можно не писать.

Пример.

Решение. Приводим к ступенчатому виду основную матрицу системы:

Количество основных неизвестных системы равно рангу r матрицы системы и равно 2, количество свободных неизвестных равно n-r=1. Записываем систему уравнений, соответствующую полученной матрице:

Определитель при неизвестных х₁ , х₂ отличен от нуля: Неизвестные х₁ , х₂ будут основными, а х₃ – свободной. Переносим свободную неизвестную х₃ в правые части уравнений:

Подставляя выражение для х₂ в первое уравнение, находим x1=0 . Обозначая свободную неизвестную х₃ через t, получаем общее решение системы:(0,t,t).

3. Матрицы. Операции над матрицами.

Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

Частные случаи матриц.

1. Если , то матрица называется квадратной. Её диагональназывается главной диагональю, а– побочная диагональ.

2. Диагональная матрица – это матрица, у которой все ненулевые элементы находятся на главной диагонали, матрица с единичными элементами на главной диагонали называется единичной. Обозначается или,– порядок.

3. Матрица размера , у которой все элементы равны нулю, называется нулевой и обозначается .

4. Если , то матрица называется строкой, или матрица-строка, или строка. Еслистолбцовая = матрица-столбец = столбец.

Две матрицы называются равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы совпадают.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение.Суммой (разностью)матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

AB = C;

. Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ  ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка: АЕ = ЕА = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство: AO = O; OA = O,

где О – нулевая матрица.

Операция перемножения матриц ассоциативна-(АВ)С=А(ВС).

Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

Для любых квадратных матриц det (AB) = detAdetB.

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

4. Определители.

Определителем произвольной матрицы второго порядка называется число, которое обозначаетсяи равно произ­ведению двух чисел, стоящих на главной диагонали минус произведение двух чисел, стоящих на другой диагонали:a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁.

Например,.

Определителем произвольной квадратной матрицы третьего порядка называется сумма шести слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение трех элементов матрицы, выбираемых по следующему правилу: три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников: , берутся со знаком "+", а три произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах двух других треугольников: , берутся со знаком "-".

Например,

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:

det A = det A^T;

Свойство 2. det ( A  B) = det A  det B.

Свойство 3. det (AB) = detAdetB

Свойство 4. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

Определение:Столбцы (строки) матрицы называютсялинейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)

Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.

5. Правило Крамера.

(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.

detA0;

Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Теорема. (Правило Крамера):

Теорема.Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

x_i = _i/, где

 = det A, а _i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i.

_i =

Пример.

A = ; ₁= ; ₂= ; ₃= ;

x₁ = ₁/detA; x₂ = ₂/detA; x₃ = ₃/detA;

6. Определители n-го порядка. Разложение Лапласа определителя по парным произведениям элементов ряда…

Определителем квадратной матрицы n-ого порядка называется число, равное алгебраической сумме n членов, каждый из которых является произведением n-элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки или столбца (причём знак каждого члена определяется как (-1)r(j), где r(j)-число инверсий).

Теорема Лапласа: определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов к.-л. строки или столбца на их алгебраические дополнения.

detA = a_i1(–1)ⁱ⁺¹M _i1 + a_i2(–1)ⁱ⁺²M _i2 +¼+ a_in(–1)ⁱ⁺ⁿM _in =

₌  a_1j (–1) ^1+jM _1j + a_2j(–1)^2+jM _2j +¼+ a_nj(–1) ^n+jM _nj

Здесь i и j — любые числа от 1 до n. Последняя формула представляет собой разложение определителя по i-й строке или j-му столбцу. M_ij называется минором и равняется определителю порядка n – 1, который получается из определителя detA, если вычеркнуть i-ю строку и j-й столбец. Произведение (–1)^i+jM_ij обозначается A_ij и называется алгебраическим дополнением элемента a_ij.

Таким образом, пользуясь свойствами определителя и методом Лапласа, можно вычисление определителя n-го порядка свести к вычислению лишь одного определителя порядка n – 1.

7. Теорема замещения.

8. Теорема аннулирования.

Теорема замещения.

Сумма произведений алгебраических дополнений какой-либо строки на числа ,иравна определителю матрицы, получающиеся из данной, заменой рассматриваемых элементов соответственно на числа,и.

Доказательство.

Рассмотрим, например, сумму произведений элементов первой строки на алгебраические дополнения элементов третьей строки:

и определитель

.

Разложив его по элементам первой строки, получим , т.е. исходное выражение.

Теорема аннулирования.

Сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраические дополнения другой строки равна нулю.

Доказательство. Рассмотрим, например, сумму произведений элементов третьей строки:

.

По теореме замещения (свойство 9) это выражение равно определителю, в третьей строке которой стоят числа ,и:

.

Этот определитель равен нулю по свойству 4, так как первая и третья строки совпадают.

10. Векторы. Основные определения. Проекция вектора на оси.

Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Свойства векторов.

1) + = + - коммутативность. 2) + (+ ) = ( + )+

3) + = 4) +(-1) = 5) () = () – ассоциативность

6) (+) =  +  - дистрибутивность 7) ( + ) =  +  8) 1 =

Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат. Положение произвольной точки в какой- либо системе координат должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса.

Декартова система координат.

Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат.

1-я ось – ось абсцисс; 2-я ось – ось ординат; 3-я ось – ось апликат

Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Если заданы точки А(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то = (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁).

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то .

Свойства проекции:

Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью:

.

При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число.

Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых:

10. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

= cos

Свойства скалярного произведения:

1. = ²;

2. = 0, если  или = 0 или = 0.

3. = ;

4. (+) = + ;

5. (m) = (m) = m();

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то

= x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b;

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

Для того, что бы два ненулевых вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

10. Угол между векторами. Условие параллельности и ортогональности векторов.

Пусть ,  .

Таким образом,  .

Из формулы косинуса угла между векторами легко найти углы , , , которые вектор образует с осями координат. Эти углы называются направляющими углами.

Имеем:

, ,.

, ,называются направляющими косинусами вектора. Они связаны соотношением

.

Следовательно, вектор есть координаты вектора, т.е. вектораи.

.

Для того, что бы два ненулевых вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Пусть     .

10. Векторное произведение векторов.

Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где  - угол между векторами и ,

2) вектор ортогонален векторам и

3) , и образуют правую тройку векторов.

Обозначается: или.



Свойства векторного произведения векторов:

1) ;

2) , если или= 0 или= 0;

3) (m)=(m) =m();

4) (+ ) = + ;

5) Если заданы векторы (x_a, y_a, z_a) и (x_b, y_b, z_b) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то

=

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

Пример. Найти векторное произведение векторов и.

= (2, 5, 1); = (1, 2, -3)

.

15. Линейная зависимость векторов.

Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно _i , т.е. .

Если же только при _i = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

Свойство 1. Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.

Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.

17. Ранг матрицы. Миноры.

Минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов.

Определение. В матрице порядка mn минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.

В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.

Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.

Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.

Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.

Пример. Определить ранг матрицы.

, RgA = 2.

Если ранг матрицы (r) больше количества неизвестных (n), то системы несовместна и решений нет

Если r=n, то существует единственное решение

Если r<n, то существует бесконечное число решений

Свойства ранга:

1. При транспонировании матрицы ранг не меняется

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях

19. Анализ произвольных систем линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли

Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

, (1)

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений вида (1) матрица

А = называется матрицей системы,

А^*= называется расширенной матрицей системы

Если b₁, b₂, …,b_m = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна.

К элементарным преобразованиям системы относятся:

1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю. 2)Перестановка уравнений местами. 3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Теорема Кронекера – Капелли.(условие совместности системы)

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. RgA=RgA^*.

Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x₁ + x₂ + … + x_n

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА^* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA^*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.