22. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис линейного пространства и координаты вектора в базисе.

Линейной комбинациейвекторовс коэффициентаминазывается выражение вида:.

Вектора называютсялинейно независимыми, если, из которых хотя бы одно отлично от нуля, т.е. линейная комбинацияс этимиявляется нулевым векторомV, т.е.. Вектора, не являющиеся линейно зависимыми, называютсялинейно независимыми. Другими словами,называются линейно независимыми, если их линейная комбинация является нулевым элементомVлишь при условии, что

Теорема 1.

1) Для того, чтобы элементы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов был линейной комбинацией остальных.

2) Если среди один элемент нулевой, то они линейно зависимы.

3) Если часть элементов множества линейно зависима, то и все элементы линейно зависимы.

Базис линейного пространства и координаты вектора в базисе.

Совокупность векторов называют базисом в, если

1^о. вектора– линейно независимы;

2^о. длянайдутся. (1)

При этом равенство (1) называется разложением элемента по базису, аназываются координатамиотносительно базиса.

Теорема:(о единственности разложения по базису). Любой элементможет быть единственным образом разложен по базису, т.е. координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.

Доказательство. Пустьи. Тогда. В силу линейной независимости. ч.т.д.

Теорема :(операции над векторами, заданными своими координатами). При сложении любых двух векторовиих координаты (относительно любого фиксированного базиса в) складываются; при умножениина, все координаты вектора умножаются на это число.

Доказательство.Пусть- базис в,,. Тогда в силу аксиом линейного пространства,. В силу единственности разложения по базисучто теорема доказана.

Примеры.1^о. Базис в- любое ненулевое число.

2^о.. Базис образуют матрицы,, …,с одним единичным элементом.

3^о.– множество многочленов степени не вышеn. Базис:,, …,.

25. Уравнения линий и поверхностей. Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой

Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.

Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.

Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.

Уравнение прямой на плоскости.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В²  0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x_2, y₂, z₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

; Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

; если х₁  х₂ и х = х₁, еслих₁ = х₂.

Дробь =k называется угловым коэффициентом прямой.

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентомk.

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С  0, то, разделив на –С, получим: или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.