28. Правило Лопиталя.
Если
То f(x) и φ(x) в некоторой окрестности содержат точку x=x0 удовлетворяющую всем условиям т. Коши.
Предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
при условии, что предел правой части равенства существует.
Правило Лопиталя применимо и в том случае когда:
Аргумент x стремится к бесконечности
Если отношение производных f I и φi при x стрем. к беск. Снова приводит к неопределенности вида 0/0 или ∞/∞.
При выполнении требуемых условий правило Лопиталя можно использовать повторно.
Теорема: Если функция f(x), g(x) дефференцирована в окресности т. а, причем f(a)=g(a)=0 и существует предел
Доказательство:
29. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме.
Rn+1(x)-остаточная форма формулы Тейлора
Th. p>0 c между x и a при кот-м вып-ся след-е рав-во
Pn+1=
(*)
Остат-й член в общем виде или член Шлемилеха-Роша
Пусть f(x) им. произв-ю в нек-й окр. т.а.
Тогда x из этой окр-ти, для всякого p>0 сущ-ет такая т. с м/у х и а при кот-м вып-ся (*)
Ф-ция (t) дифф-ма в окр а!
(x), (a)
(x)=0
(a)=f(x)-f(a)-
(a)=0 ф-ция непр-на, диф-ма и в этих точках=0
По т.Ролля с м/у a и х: ’(c)=0
30. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
p=n+1
31. Разложение по формуле Тэйлора и приближенное вычисление показательной и тригонометрических функций.
1. Разложение ф-ции ех
ряд Маклорена.
n=6,
2.
<1
k=3,
3.
32. Разложение по формуле Тэйлора и приближенное вычисление логарифмической и степенной функций.
1) Разложение ф-ции f(x)=ln(1+x)
сходится при -1<=x<=1
2) f(x)=(1+x)
f ’(x) =α(1+x)-1
f”(x) =α(α-1)(1+x)-2
f(n)(x)=α(α-1)…(α-n+1)(1+x)-n
33.Локальные экстремумы. Необходимое условие. Его недостаточность.
Опр. Пусть функция f(x) определена всюду в некоторой окрестности точки с. Говорят, что функция f(x) имеет в точке с локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки с, в пределах которой значение f(с) является наибольшим (наименьшим).
Локальный максимум и минимум объединяются общим названием экстремум.
Точка x0 наз-ся точкой max, если при любом х из некоторой δ-окрестности если выполняется неравенство: f(x) < f(x0) при x≠x0.
Точка x0 наз-ся точкой min, если при любом х из некоторой δ-окрестности точки x0 выполняется неравенство: f(x) > f(x0) при x≠x0.
Максимум(минимум) функции наз-ся экстремумом поскольку понятие экстремума связано с определением окрестности точки и Области Определения Функции то функция может иметь экстремум только во внутренних точках ОДЗ. Очевидно также, что функция может иметь несколько точек экстремума.
Необходимое условие экстремума:
Если функция f(x) имеет в точке х0 экстремум и дифференцируема в этой точке, то f I(x0)=0
Th. Для того чтобы f(x) –неубыв. на (a,b) необх-мо и дост-но f ’(x)≥0 на (a,b)
Th. (Ферма). Если ф-ция f(x) опред-на в нек-й окр. т.а, диф-ма в т.а, и им. в т.а лок-й max или min то f ’(a)=0.
Опр. т.а –назыв. критич. или стац-й если f ’(a)=0
Теорема: Необходимый признак экстремума функции.
Е
сли
х0 точка экстремума f(x),
то :
1). Либо не существует f ’(x0)
2). Либо f ’(x0)=0
Док-во:
1). Не сущест. f ’(x0)
2). Сущест. f ’(x0) - по т. Ферма f ’(x0)=0
Замечание: данные условия не являются достаточными.
