8. Точные грани значений функции, непрерывной на отрезке.

Th. Фун-я f(x) непр-а на отр. [a,b] явл. ограниченной.

Пусть f(x) неогр.

 x_n[a,b]: |f(x_n)|>n

x_1,x_2,…,x_n,… [a,b]

 x_n→c[a,b]

из опр2. –огранич. { }

| |>n_k-это против-т=> ф-ция огран.

f(x) [a,b) непрерывна ограничена

{f(x): x[a,b]} имеет точную верхнюю

точную нижнюю грань

M=supU, -верхняя грань

m=inf U, -нижняя грань

Th. f(x) непр. [a,b) достигает точных верхней и нижней граней.

 с: f(c)=M;  d: f(d)=m;

Д-во:

Пусть M т.в.г. f(x)<M

x[a,b]

M-f(x)>0

g(x) непр. на [a,b]

g(x)≤N x[a,b]

Значит не может быть наименьшей нижней гранью

M=supU

Значит ф-ция непрерывна на [a,b] им. макс. и мин. знач-е.

Th. Пусть ф-ция f(x) возр. на отр. [a,b]

Необ-о и дост-о, чтобы ф-ция была непр-на, надо чтобы ф-ция совпад. с отр. [f(a), f(b)]

1) f(x) непр. [a,b]

p [f(a),f(b)] след. из теор. о пром-х знач-х.

2) Пусть мн-во знач. f(x) совп.

[f(a),f(b)]

f(x) непр. в т.С(a,b)

Возьмем >0, <min{f(c)-f(a), f(b)-f(c)}

Сущ-т такие знач-я p,q[a,b]:f(p)=f(c)-,

f(q)=f(c)+,

т.к. f(p)<f(c)=>p<c c<q

=min{q-c,c-p}

|x-c|<

|f(x)-f(c)|<

9. Предел функции. Левый и правый пределы. Различные определения.

Th. Все элем-е ф-ции непрерывны в области опред-я.

П рокол-я окр-ть т.а

(a-,a)(a,a+)

Опр1. Число А назыв-ся пределом f(x) в т.a если ф-ция непрерывна в т.а

A = -предел A.

Опр2. Число А назыв-ся пределом f(x) в т.а

x_n: x_n→a, x_n≠a

f(x_n)→A

- предел функции

Предл1. Если f(x) и g(x) имеют предел в т.а, то

Предл2.

Предл3.

Опр3.

Число A называется пределом f(x) при x  a, при >0  >0 x(a-,a) (a,a+): |f(x)-A|<

Опр. Пусть задана ф-ция f(x), xX, и x₀R.

Точка а наз-ся пределом ф-ции f слева при x→x₀ (соответственно справа), если она является пределом при x→x₀ ф-ции f по мн-ву X-(x₀) (соответственно по мн-ву X+(x₀)), т.е. если

В силу этого определения предел причисляется к пределам слева, а - к пределам справа.

Для пределов справа и слева сужения ф-ции f на мн-ве X\ {x₀}, т.е. для случая, когда предел берется по множеству, не содержащему точки x₀, имеются спец-е обознач-я: для предела слева f(x₀-0) и , а для предела справа f(x₀+0) и . При этом в случае x:=0 вместо 0+0 и 0-0 пишут +0 и -0, а в случае x₀=+ (соответственно x₀= -) вместо +-0 (-+0) пишут просто + (соответственно -).

Лемма. Пусть ф-ция f задана на мн-ве X,X₁X,X₂X, и x₀ явл-ся точкой прикосновения мн-в X₁ и X₂. Тогда, если при x→x₀ ф-ция f имеет равные пределы по мн-вам X₁ и X₂, то она имеет тот же предел и по их объединению.

Th. Ф-ция f(x), xX, им. предел в точке x₀=supX-(x₀)=infX+(x₀), X-(x₀), X+(x₀), в том и только в том случае, когда в этой точке у ф-ции f сущ-т равные пределы слева и справа, причем общее значение этих пределов явл-ся пределом ф-ции f в точке x₀.

Если у ф-ции f сущ-т предел в точке x₀, то тот же предел сущ-т у этой ф-ции при x→x₀ и по любому подмн-ву EX, в частнсти по мн-вам X-(x₀) и X+(x₀). Обратно, если у ф-ции f сущ-т равные пределы по мн-вам X-(x₀) и X+(x₀), то по лемме у нее сущ-т тот же предел и по их объединению, т.е. по мн-ву X=X-(x₀)X+(x₀)