15. Пределы степенно-показательных функций.

(x)=|(x-a)|^p

(x)=|(x-a)|^q

Если p>q то (x) б.м. более выс. пор-ка

Если (x) одного порядка с (x-a)ⁿ | (x) б.м. пор-ка n в т.А

(x)=3x²-x⁵ б.м. в О

(x)=5x²+x⁷ б.м. в О

16. Рациональные, алгебраические, трансцендентные, элементарные функции. Гиперболические функции.

1) Рациональные ф-ции-ф-ции f(x), представимые в виде , где P(x) и Q(x) – многочлены (Q(x) не нулевой многочлен). Ф-ция f(x) определена во всех точках числовой оси, кроме тех её точек, в которых знаменатель Q(x) обращается в ноль.

Th. Многочлен непрерывен на всей числовой оси.

Th. Рациональная ф-ция , где P(x) и Q(x) – многочлены, непрерывна во всех точках числовой оси, в которых Q(x)0.

Это следует из непр-ти многочленов P(x) и Q(x) на всей числовой оси и непрер-ти частного непрер-ых ф-ций во всех точках, в кот-х знам-ль не обр-ся в нуль.

2) Алгебраические ф-ции- ф-ции кот-е можно получить из констант, из +, -, *, /, обратной, суперпозиции.

А лгебр-е + sinx, + e^x

элем-е ф-ции

3) Трансцедентные ф-ции- элем-ые ф-ции, не явл-ся рацион-ми или иррацион-ми. (не явл. алг-ми)

Иррац-е ф-ции, т.е. такие ф-ции, не явл-ся рацион-ми, кот-е могут быть заданы композицией конечного числа рациональных ф-ций, степ-х ф-ций с рацион-ми показателями и 4-х арифмет-х действий.

4) Элем-е. Ф-ция: линейная y=c (с-постоянная), степенная y=x^, R, показательная y=a^x, a>0, логарифмическая y=log_ax, a>0, a1, тригонометрические ф-ции y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx и обратные тригонометрические ф-ции y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx называются основными элементарными ф-циями.

Всякая ф-ция f, кот-я может быть задана с пом-ю формулы y=f(x), содержащей лишь конечное число арифмет-х опер-й над основными элемент-ми ф-циями и композицией, называется элементарной ф-цией.

Th. Каждая элементарная ф-ция непр-на в обл-ти своего опред-я.

5) Нередко в мат. анализе встреч-ся ф-ции . Они имеют специальные названия: первая из них назыв-ся гиперболический синус и обозначается shx, а вторая - гиперболический косинус chx. Таким образом,

Эти ф-ции обладают некоторыми свойствами, похожими на св-ва обычных (круговых) синусов и косинусов, например,

Эпитет «гиперболический» в названии ф-ций (1) и (2) объясняется тем что, уравнения

x=a cht, y=a sht, a>0, -<t<+, явл-ся, в силу формулы (3), параметрическими уравнениями правой ветви гиперболы x²-y²=a², подобно тому, как уравнения

x=a cost, y=a sint, 0t2, являются параметрическими уравнениями окружности x²+y²=a².

17. Дифференцируемость функции. Определение производной. Непрерывность дифференцируемой функции.

Опр1. Функция f(x) называется дифференцируемой в данной точке x , если приращение y этой функции в точке x, соответствующее приращению аргумента x, может быть представлено в виде

,

где A – некоторое число, не зависящее от x, а - функция аргумента x, являющаяся бесконечно малой при x  0.

Т.к. произведение двух бесконечно малых x является бесконечно малой более высокого порядка, чем x, то можно определение переписать ; (А = f ’(x)).

Th. Чтобы f(x) была дифференцируема в т.x, необх. и дост., чтобы он в этой точке имела производную.

A=y’(x)

1) y’(x)-сущ-ет.

∆y(x)=y’(x)∙∆x+ (∆x)

2) Пусть ф-ция диф-ма

∆y=A∙∆x+ (∆x) |:∆x

y’(x)=A

Опр2. Производной ф-ией y=f(x) в точке х наз. предел при х 0 отношения приращения ф-ии в этой точке к приращению аргумента (при условии что этот предел существует)

Обозначение: .

По определению = lim .

Ф-ия , имеющая производную в каждой точке интервала (а,в) наз. дифференцируемой в этом интервале. Операция нахождения производной ф-ии наз. дифференцированием.

Нахождение производной с помощью определения наз. непосредственным дифференцированием.

Предл. Если ф-ция y(x) дифф-а в т.х. то она непр-на

∆y=A∙∆x+ (∆x)

∆x→0

Замеч. Обратное утверждение не верно, ф-ция может быть непр-на, но не дифф-а.

y=|x| x=0

y(0)=0

∆y=|∆x|

∆y=y(0+∆x)-y(0)

не  => она не дифф-ма.