8. Точные грани значений функции, непрерывной на отрезке.

Th. Фун-яf(x) непр-а на отр. [a,b] явл. ограниченной.

Пусть f(x) неогр.

 x_n[a,b]: |f(x_n)|>n

x_1,x_2,…,x_n,… [a,b]

 x_n→c[a,b]

из опр2. –огранич. {}

||>n_k-это против-т=> ф-ция огран.

f(x) [a,b) непрерывна ограничена

{f(x):x[a,b]} имеет точную верхнюю

точную нижнюю грань

M=supU, -верхняя грань

m=infU, -нижняя грань

Th. f(x) непр. [a,b) достигает точных верхней и нижней граней.

 с: f(c)=M;d:f(d)=m;

Д-во:

Пусть Mт.в.г.f(x)<M

x[a,b]

M-f(x)>0

g(x) непр. на [a,b]

g(x)≤N x[a,b]

Значитне может быть наименьшей нижней гранью

M=supU

Значит ф-ция непрерывна на [a,b] им. макс. и мин. знач-е.

Th. Пусть ф-цияf(x) возр. на отр. [a,b]

Необ-о и дост-о, чтобы ф-ция была непр-на, надо чтобы ф-ция совпад. с отр. [f(a),f(b)]

1) f(x) непр. [a,b]

p[f(a),f(b)] след. из теор. о пром-х знач-х.

2) Пусть мн-во знач. f(x) совп.

[f(a),f(b)]

f(x) непр. в т.С(a,b)

Возьмем >0, <min{f(c)-f(a), f(b)-f(c)}

Сущ-т такие знач-я p,q[a,b]:f(p)=f(c)-,

f(q)=f(c)+,

т.к. f(p)<f(c)=>p<cc<q

=min{q-c,c-p}

|x-c|<

|f(x)-f(c)|<

9. Предел функции. Левый и правый пределы. Различные определения.

Th. Все элем-е ф-ции непрерывны в области опред-я.

Прокол-я окр-ть т.а

(a-,a)(a,a+)

Опр1. Число А назыв-ся пределом f(x) в т.a если ф-циянепрерывна в т.а

A=-пределA.

Опр2. Число А назыв-ся пределом f(x) в т.а

x_n:x_n→a,x_n≠a

f(x_n)→A

- предел функции

Предл1. Если f(x) иg(x) имеют предел в т.а, то

Предл2.

Предл3.

Опр3.

Число Aназывается пределомf(x) приx a, при>0>0x(a-,a)(a,a+): |f(x)-A|<

Опр. Пусть задана ф-ция f(x),xX, иx₀R.

Точка а наз-ся пределом ф-ции fслева приx→x₀(соответственно справа), если она является пределом приx→x₀ ф-цииfпо мн-вуX-(x₀) (соответственно по мн-вуX+(x₀)), т.е. если

В силу этого определения предел причисляется к пределам слева, а- к пределам справа.

Для пределов справа и слева сужения ф-ции fна мн-веX\ {x₀}, т.е. для случая, когда предел берется по множеству, не содержащему точкиx₀, имеются спец-е обознач-я: для предела слеваf(x₀-0) и, а для предела справаf(x₀+0) и. При этом в случаеx:=0 вместо 0+0 и 0-0 пишут +0 и -0, а в случаеx₀=+(соответственноx₀= -) вместо +-0 (-+0) пишут просто +(соответственно -).

Лемма. Пусть ф-цияfзадана на мн-веX,X₁X,X₂X, иx₀явл-ся точкой прикосновения мн-вX₁иX₂. Тогда, если приx→x₀ ф-цияfимеет равные пределы по мн-вамX₁иX₂, то она имеет тот же предел и по их объединению.

Th.Ф-цияf(x),xX, им. предел в точкеx₀=supX-(x₀)=infX+(x₀),X-(x₀),X+(x₀), в том и только в том случае, когда в этой точке у ф-цииfсущ-т равные пределы слева и справа, причем общее значение этих пределов явл-ся пределом ф-цииfв точкеx₀.

Если у ф-ции fсущ-т предел в точкеx₀, то тот же предел сущ-т у этой ф-ции приx→x₀и по любому подмн-вуEX, в частнсти по мн-вамX-(x₀) иX+(x₀). Обратно, если у ф-цииfсущ-т равные пределы по мн-вамX-(x₀) иX+(x₀), то по лемме у нее сущ-т тот же предел и по их объединению, т.е. по мн-вуX=X-(x₀)X+(x₀)

10. Арифметические операции над функциями, имеющими пределы. Переход к пределу в неравенствах.

Предл1. Если f(x) иg(x) имеют предел в т.а, то

Предл2.

Предл3.

2) Пусть f(x)<h(x)g(x) в нек. окр-ти т.а

Пусть x_n→a,x_na

f(x_n)→A,g(x_n)→A

f(x_n)h(x_n)g(x_n)

A

Поскольку x_n-послед-ть произв-, то => что

Пр2. - для того чтобы оно вып-сь необх. и дост.,