Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Ответы к экзамену за 1 семестр.doc
Скачиваний:
291
Добавлен:
25.05.2014
Размер:
2.66 Mб
Скачать

1. Критерий непрерывности функции в точке через последовательности.

Опр1.f(x) называется непрерывной в точке а, если>0>0: |f(x)-f(а)|<при |х-а|<.

Опр2. Пустьf(x) определена в некоторой окрестности точкиа.f(x) называется непрерывной в точкеаесли f(x)=f(а)

Для каждого малого изменения аргумента, сколько угодно малое изменение функции.

Если функция непрерывна во всех точках множества D, то она непрерывна на множествеD.

Любая функция непрерывна в изолированной т. множества D.

Th1.Два данных определения непрерывности равносильны.

xn-a, xnD

f(xn)→f(a)

>0 >0: |x-a|<, xD=>|f(x)-f(a)|<

N n>N |xn-a|<,

|f(xn)-f(a)|<

f(xn)→f(a)

Th2. f(x) a (опр.2)

xn→a=>f(xn)→f(a)

Пусть функция f(x) не явл. непрерывной в см. 1.

0>0 не вып.>0

есть xдля кот-го |x-a|<

|f(x)-f(a)|0

=1,

xn |xn-a|< |f(xn)-f(a)|0=>xn→a

f(xn)f(a) получили противоречие

2. Сумма и разность непрерывных функций.

Пусть f(x),g(x) опр. наD.

aDесли ф-ция непр-на в т., то сумма и разность также непрерывны.

xn→a

f(xn)→f(a), g(xn)→g(a)

f(xn)±g(xn)→f(a)±g(a)

Поскольку xn – произв-я, то мы получаемf±g– непр-ные в т.а

3. Произведение и частное непрерывных функций

1) Пусть f(x),g(x) опр. наD.

aDесли ф-ция непр-на в т., то произведение также непрерывно.

xn→a

f(xn)→f(a), g(xn)→g(a)

f(xn)∙g(xn)→f(a)∙g(a)

Поскольку xn – произв-я, то мы получаемf∙g– непр-ные в т.а

2) f(x),g(x) – непр. в т.а,g(a)≠0, то функциянепр-на в т.а

4. Суперпозиция непрерывных функций.

Пусть f(x)-непр-на в т.а,

g(y)-непр-на в т.f(a)

Малому изменению а соответ-т малое изм-е f(a)

fкомпоз-яgнепр. в а

g(f(x))-композиция

xn→a

f(xn)→f(a)

g(f(xn))→g(f(a))

5.Непрерывность обратной функции.

Th. Функция обратная непрерывной возрастающей функции также является непрерывной.

Пусть ф-ия y=f(x) определена строго монотонно и непрерывна на некотором промежутке Х и пусть У- множество её значений. Тогда на множестве У обратная ф-ия х=у) однозначно строго монотонна и непрерывна.

Равномерная непрерывность ф-ии.

Ф-ия f(x) наз. равномерно-непрерывной на промежутке Х, если>0 существует δ>0 такое чтоудовлетворяющих неравенству<δ выполняется неравенство

f(.

Теорема Кантора. Если ф-ияf(x) непрерывна на, то она и равномерно непрерывна на нём.

6. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.

Th.Если функцияf(x) непр. в т.а иf(a)≠0, тоокрестность т.а в пределах которой функция ≠0 и сохраняет знак.

=>0

 >0: |x-a|< |f(x)-f(a)|<=

f(x)<f(a)+

f(a)-<f(x)< f(a)+

f(a)>0

f(x)>f(a)-=

f(a)<0

f(x)<f(a)-=

f(x)=const непр-на => (-1)∙f(x)-непр., если f-непр.

f(a)-отр. –f(x)

7. Непрерывные функции и промежуточные значения.

Опр3.Пустьf(x)- ограниченна сверху (снизу) наX, то естьM (m) ,xX:f(x)M (f(x)m) . ЧислоМ (m) называется верхней (нижней) гранью функцииf(x) на множествеХ. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней ограниченной сверху (снизу) наXf(x) называется её точной верхней (точной нижней) гранью и обозначается f(x) (f(x)).

Эквивалентное определение. ЧислоM(числоm) называется точной верхней (точной нижней) гранью функцииf(x) на множествеX, если выполнены следующие два требования: 1) дляxX:f(x)M (f(x)m), 2) для > 0xX, для которого справедливо неравенство

()

Опр1. f(x) a

 >0  >0: |x-a|<=>|f(x)-f(a)|< 

Опр2. f(x) a

xn→a=>f(xn)→f(a)

Th. О промеж-м значении.

Пусть функция f(x) непр. на отр.[a,b] и f(a)∙f(b)<0 Тогда

 с[a,b]:f(c)=0

Д-во:

Пустьf(a)<0,f(b)>0

1. Если

a1:=a, b1:=

2. Если

a1:= , b1:=b

a2,b2,…..

[a,b]>[a1,b1]>…

bn-an=→0

{c}=[ai,bi]

f(c)=0

f(ai)<0

f(bi)>0

Пусть f(c)>0=>в нек. окр.

При дост-о большом i,f(ai)>0

f(c)=0

Следст. Пусть f(x) непр. на [a,b]

lнаходится м/уf(a),f(b)

тогда с[a,b]:f(c)=l

Расс-м фун-ю g(x)=f(x)-lнепр. на отр.[a,b]

g(a)∙g(b)<0

g(c)=0 g(c)=f(c)-l=0 f(c)=l