3. Вывод уравнений статистики системы

В статике на основании (2.1) имеем

Отсюда, используя, например, формулы Крамера, нетрудно получить уравнение статики замкнутой САУ

(2.6)

где - коэффициенты передачи САУ по управлению и возмущению, определяемые выражениями

(2.7)

(2.8)

На основании (2.6) статическая ошибка замкнутой САУ определяется выражением

(2.9)

При отсутствии обратных модальных связей

= - см. рис. 1) согласно (2.8) и поэтому подобно (2.9) статистическая ошибка самого объекта

,

откуда

(2.10)

Подставляя теперь (2.8) в (2.9) с учетом (2.10) и требуемого диапазона регулирования D, получаем

(2.11)

Отсюда после несложных преобразований можно записать

(2.12)

Уравнение (2.12) отражает аналитическую связь между статической ошибкой замкнутой САУ и искомыми коэффициентами

2.4. Расчет коэффициентов обратных модальных связей

Дальнейшее решение поставленной задачи синтеза системы модального управления сводится к совместному решению системы четырех уравнений (2.5), (2.12) относительно неизвестных . Для краткости последующих записей и удобства решения введем обозначения

(2.13)

(2.14)

, (2.15)

причем

(2.16)

Тогда система указанных уравнений принимает вид

(2.17)

Поскольку в системе (2.17) число уравнений превышает число неизвестных, то необходимо установить условие ее совместности. Для этого из первых трех уравнений определяем

(2.18)

Подставляя (2.18) в последнее уравнение системы (2.17) и учитывая (2.16), получаем следующее уравнение совместности

,

которое после подстановки принятых обозначений (2.15), (2.16) приводится к виду

, (2.19)

Неполное кубическое уравнение (2.19) можно решить аналитически (по формуле Кардана) или численно. При этом в дальнейшем будем использовать лишь наименьший положительный корень уравнения, приближенное значение которого определяется по формуле [3]:

(2.20)

Вычисленное согласно (2.20) значение может использоваться лишь в качестве первого (грубого) решения при численных способах решения уравнения (2.19). Студент должен найти (и проверить) точное значение корня, которое в силу особенностей уравнения (2.19) [3] всегда будет несколько больше, чем его приближенное значение (2.20).

Определив точное значение полезно оценить ожидаемое время регулирования , которое в соответствии с рис. 2 можно вычислить по формуле

(2.21)

Убедившись, что величина не превышает указанное в задании значение, на основании (2.14) вычисляем величину , а затем на основании (2.18) – величины . Далее исходя из (2.13), находим

(2.22)

Теперь как было отмечено в п. 2.2, достаточно задаться одним из коэффициентов , чтобы согласно (2.22) однозначно определить все остальные.

В данной работе в начале рекомендуется определить коэффициент . Для этого из таблицы на основании условия выбирает тип тахогенератора и соответствующее ему значение . Затем на основании (2.22) последовательно вычисляем значения .

Таблица

Тип тахогенератора	ТД-201	ТГ-1	ТД-102	ТД-103	ТГ-2	ТД-110
Максимальная частота вращения , об/мин	1000	1100	1500	1500	2400	3000
Коэффициент передачи , В/(рад/с)	1,3	0,07	0,5	1,0	0,2	0,48

В завершение данного этапа работы крайне полезно выполнить проверку полученных результатов. Для этого нужно согласно (2.4) вычислить значения и проверить выполнение условий

(погрешность между левой и правой частями этих равенств не должна превышать 2%). Затем согласно (2.11) нужно вычислить значение , которое должно отличаться от указанного в задании тоже не более чем на 2%.

В приложении 3 приведена граф-схема укрупненного алгоритма расчета всех параметров синтезируемой модальной САУ на основе полученных выше формул и даны краткие комментарии к ней. По граф-схеме студенту рекомендуется составить программу на каком-либо алгоритмическом языке (например Turbo-Pascal) и выполнить расчеты на имеющейся у него на предприятии ЦВМ. Листинг программу и распечатку результатов расчета следует поместить в приложении к пояснительной записке.