4. Оценка тесноты связи.

Измерение тесноты и направления связи между признаками предлагает определение меры соответствия вариации результативного признака от одного (при изучении парных зависимостей) или нескольких (множественных) факторов.

Линейный коэффициент корреляции был впервые введен в начале 90-х гг. 19 века Пирсоном, Эджвортом и Велдоном и характеризует тесноту и направление связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости.

В расчете этого коэффициента учитывается величина отклонений индивидуальных значений признаков от средней величины: и . Однако, сопоставляемые полученные величины могут быть выражены в различных единицах измерения или могут различны по величине. Поэтому сравнивают нормированные отклонения:

и

Для получения обобщающей характеристики тесноты связи берут среднее произведение нормированных отклонений:

(1)

Формула линейного коэффициента корреляции может быть представлена в следующем виде:

Используя математические свойства средней, получаем:

(2)

Преобразования данной формулы позволяют получить следующую формулу линейного коэффициента корреляции:

или (3)

где n - число наблюдений

Производя расчет по итоговым значениям исходных переменных, линейный коэффициент корреляции можно вычислить по формуле:

(4)

или

(5)

Коэффициент корреляции может быть выражен через дисперсии слагаемых:

(6)

Формулы (1), (2), (2) применяются при изучении совокупностей малого объема (n<=20:30).

Между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует определенная зависимость, выражаемая формулой:

для парной корреляции - или , а коэффициент

для многофакторной корреляции - где а_i - коэффициент регрессии в уравнении связи, σ_хi - среднее квадратическое отклонение соответствующего, статистически существенного, факторного признака.

Линейный коэффициент корреляции имеет большое значение при исследовании социально-экономических явлений и процессов, распределение которых близко к нормальному. Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до 1. При этом оценку линейного коэффициента корреляции можно представить в таблице:

Значение линейного коэффициента корреляции	Характер связи	Интерпретация связи
r=0	Отсутствует	-
0 < r < 1	Прямая	С увеличением Х увеличивается У
-1 < r < 0	Обратная	С увеличением Х уменьшается У, и наоборот
r=1	Функциональная	Каждому значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного признака

По степени тесноты связи различают количественные критерии оценки тесноты связи на основе шкалы Чеддока:

Величина коэффициента корреляции при наличии			Характер связи
прямой связи	обратной связи
от 0,1 до 0,3	от -0,3 до -0,1	практически отсутствует
от 0,3 до 0,5	от -0,5 до -0,3	слабая
от 0,5 до 0,7	от -0,7 до -0,5	умеренная
от 0,7 до 0,9	от -0,5 до -0,7	сильная
0,9 до 0,99	от -0,99 до -0,9	весьма сильная

В случае наличия линейной и нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют корреляционное отношение. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по данным группировки, когда δ² характеризует отклонения групповых средних результативного показателя от общей средней:

(7)

где η - корреляционное отношение;

σ² - общая дисперсия

- средняя из частных (внутригрупповых) дисперсий;

- межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних)

Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле:

(8)

где - дисперсия выровненных значений результативного признака, т.е. рассчитанных по уравнению регрессии;

σ² - дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака.

Так как и

Тогда (9)

В основе расчета корреляционного отношения лежит правило сложения дисперсий, при этом средняя из межгрупповых дисперсий отражает вариацию результативного признака У под влиянием всех неучтенных при анализе факторов, т.е. носит остаточный характер. Поэтому её часто называют остаточной дисперсией.

Отсюда формула корреляционного отношения принимает вид (выражаем межгрупповую дисперсию через общую и среднюю из внутригрупповых):

(10)

Корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1 и анализ степени тесноты связи полностью соответствует линейному коэффициенту корреляции. Теоретическое корреляционное отношение также может выражаться по формуле:

Корреляционное отношение является более универсальным показателем тесноты связи сравнению с линейным коэффициентом корреляции.

Для измерения тесноты связи при множественной корреляционной зависимости, т.е. при исследовании трех и более признаков одновременно, вычисляются множественный или совокупный и частные коэффициенты корреляции.

Множественный коэффициент корреляции рассчитывается при наличии линейной связи между результативным и несколькими факторными признаками, а также между каждой парой факторных признаков.

В случае оценки связи между результативным (У) и двумя факторными признаками (х₁ и х₂) множественный коэффициент корреляции определяют по формуле:

(11)

где r - парные коэффициенты корреляции между признаками

Множественный коэффициент корреляции можно рассчитать, используя парные коэффициенты r_ij и коэффициенты регрессии в стандартизованном масштабе (β_i)

где r_yxi - парные коэффициенты;

β_i - коэффициенты в стандартизованном масштабе.

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен.

Приближение R к 1 свидетельствует о сильной зависимости между признаками.

Чтобы оценить общую вариацию результативного признака в зависимости от факторных признаков, величина коэффициента множественной корреляции корректируется на основании следующего выражения:

где - скорректированное значение;

n- число наблюдений;

k - число факторных признаков.

Корректировка не производится при условии, если

Проверка значимости коэффициента множественной корреляции осуществляется на основании F-критерия Фишера-Снедекора

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи между двумя признаками х₁ и х₂ при фиксированном значении других (к‑2) факторных признаков, т.е. когда влияние х₃ и других исключается и оценивается связь между х₁ и х₂ в "чистом виде".

Коэффициент, в котором исключается влияние только одного факторного признака, называется коэффициентом частной корреляции первого порядка. В общем виде коэффициент корреляции первого порядка выражается так:

В случае зависимости Y от двух факторных признаков х₁ и х₂ коэффициент частной корреляции следующий:

В первом случае исключено влияние факторного признака х₂ , во втором - х₁. Значения парного и частного коэффициентов корреляции отличаются друг от друга, так как парный коэффициент характеризует связь между двумя признаками без учета влияния других признаков, а частный учитывает наличие и влияние других факторов.

Кроме перечисленных выше коэффициентов для измерения тесноты применяются коэффициент детерминации. Он равен квадрату корреляционного отношения и обозначается буквой η²

В числителе формулы стоит сумма квадратов отклонений фактических значений признака у от индивидуальных расчетных показателей. Эта сумма не может равняться нулю, если связь не является функциональной. При неверной формуле или ошибки в расчетах возрастают расхождения фактических и расчетных значений, и корреляционное отношение снижается.

С целью расширения возможностей экономического анализа используются частные коэффициенты эластичности, определяемые по формуле:

где - среднее значение соответствующего факторного признака;

- среднее значение результативного признака;

а_i - коэффициент регрессии при соответствующем факторном признаке.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного признака на 1%.

Частный коэффициент детерминации показывает на сколько процентов вариация результативного признака объясняется вариацией i-того признака, входящего в множественное уравнение регрессии и определяется по формуле:

где r_yxi - парный коэффициент корреляции между результативным и i-м факторным признаками;

β_хi - соответствующий коэффициент уравнения множественной регрессии в стандартизованном виде.

Множественный коэффициент детерминации (R²) представляет собой множественный коэффициент корреляции в квадрате и показывает какая доля вариации результативного признака обусловлена изменением факторных признаков, входящих в многофакторную регрессионную модель.

Для более точной оценки влияния каждого факторного признака на моделируемый используют Q-коэффициент, определяемый по формуле:

где - коэффициент вариации соответствующего факторного признака.

Интерпретировать корреляционные показатели строго следует лишь в терминах вариации отклонений от средней величины. Если же необходимо измерение изменений признака во времени, то метод корреляционно-регрессионного анализа требует значительного изменения. Модели на основе этого метода обладают слабыми экстраполяционными свойствами и не отражают тенденции развития и пригодны лишь для построения краткосрочных прогнозов.