4. Малая выборка
Таблицы интеграла вероятностей используются для выборок большого объема из бесконечно большой генеральной совокупности. Но уже при n > 100 получается несоответствие между табличными данными и вероятностью предела; при n ≤ 30 погрешность становится значительной. Несоответствие вызывается главным образом характером распределения единиц генеральной совокупности. При большом объеме выборки особенность распределения в генеральной совокупности не имеет значения, так как распределение отклонений выборочного показателя от генеральной характеристики при большой выборке всегда оказывается нормальным.
В выборках небольшого объема n ≤ 30 характер распределения генеральной совокупности сказывается на распределении ошибок выборки. Поэтому для расчета ошибки выборки при небольшом объеме наблюдения (уже менее 100 единиц) отбор должен проводится из совокупности, имеющей нормальное распределение.
Теория малых выборок разработана английским статистиком В. Госсетом (писавшим под псевдонимом Стьюдент) в начале ХХ века. В 1908 г. им построено специальное распределение, которое позволяет и при малых выборках соотносить t и доверительную вероятность P(t). При n > 100 таблицы распределения Стьюдента дает те же результаты, что и таблицы вероятностей Лапласа, при 30 ≤ n ≤ 100 различия незначительны. Поэтому практически к малым выборкам относят выборки объемом менее 30 единиц (безусловно, большой считается выборка с объемом более 100 единиц).
Для оценки возможных пределов ошибки малой выборки пользуются отношением Стьюдента:
(30)
Знаменатель данной формулы представляет собой меру случайных колебаний выборочной средней малой выборки:
,
где
Таким образом, теоретическое отношение Стьюдента t имеет дело с величинами, определяемыми по выборке. Коэффициент t еще называют коэффициентом доверия малой выборки.
Плотность вероятностей распределения Стьюдента описывается функцией:
(31)
где k – число степеней свободы варьирования при определении выборочной дисперсии и для малых выборок равно n-1;
n - объем выборки;
А – определяется
в зависимости от числа степеней свободы
с помощью гамма-функции
Это распределение, как и нормальное, симметрично относительно точки t=0, но оно более пологое. При увеличении объема выборки, распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному. Таблицы распределения Стьюдента публикуются в двух видах:
аналогично таблицам интеграла вероятностей приводятся значения t и соответственно вероятности F(t) при разном числе степени свободы;
значения t приводятся для наиболее употребляемых доверительных вероятностей 0,90; 0,95 и 0,99 или для 1 - 0,9 = 0,1; 1 - 0,95 = 0,05; 1 - 0,99 = 0,01 при разном числе степени свободы.
Таблицы Стьюдента показывают, что фактическое отношение Стьюдента будет не больше приведенного в таблице, т.е.
Пример. Оздоровительный центр, рекламируя свои услуги, предлагает клиентам за короткий срок снижение веса на 10 кг. По результатам выборочного обследования было опрошено 15 человек, которые воспользовались услугами центра. Были получены следующие данные:
-
№ п/п
Снижение веса, кг
№ п/п
Снижение веса, кг
1
10,2
9
5,2
2
7,6
10
6,1
3
6,1
11
5,0
4
8,4
12
3,7
5
6,0
13
4,7
6
5,7
14
3,6
7
13,7
15
3,2
8
6,9
Выборочная
средняя определяется как простая средняя
арифметическая и равна
кг, т.е. среднее снижение веса у опрошенных
клиентов составило 6,41 кг.
Выборочная
дисперсия составила:
Следовательно, средняя квадратическая ошибка выборки составит:
кг
Оценим с вероятностью 0,99 предел возможных расхождений выборочной средней и генеральной средней. Так как число степеней свободы k=n-1=15-1=14, то по таблицам распределения Стьюдента находим коэффициент доверия t:
Для числа степеней свободы 14 коэффициент доверия равен t=2,977.
Тогда с вероятностью 0,99 можно предположить, что ошибка выборочной средней будет не больше:
кг, а снижение веса пациентов
оздоровительного центра будет находится
в пределах:
,
т.е. в пределах от 4,3 до 8,52 кг. Следовательно,
указанное в рекламе снижение веса на
10 кг имеет столь малую вероятность, что
считается практически невозможным.