Свойства арифметической средней

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю.

Доказательство:

Для взвешенной средней справедливо следующее свойство: сумма взвешенных отклонений равны нулю. Попробуйте доказать это свойство самостоятельно.

2. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя величина увеличиться или уменьшиться во столько же раз.

Доказательство:

Вследствие этого свойства индивидуальные значения признака можно сократить в с раз, произвести расчет средней и результат умножить на с.

3. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или из каждого индивидуального признака вычесть постоянное число, то средняя величина возрасте или уменьшится на это же число.

Доказательство:

Это свойство полезно использовать при расчете средней величины из многозначных и слабоварьирующихся значений признака, например роста группы лиц: х₁ = 179 см, х₂ = 183 см, х₃ = 171 см, х₄ = 180 см, х₅ = 169 см. Для вычисления среднего роста из каждого значения вычитаем 170 см и находим среднюю из остатков: (9 + 13 + 1 - 1) : 5 = 6,4. Средний рост = 6,4 + 170 = 176,4 см.

4. Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, то средняя величина не изменится.

Доказательство:

Используя это свойство, при расчетах следует сокращать все веса на их общий множитель или выражать многозначные числа весов в более крупных единицах измерения.

5. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа.

Доказательство:

(везде сумма i =1 до n )

Составим сумму квадратов отклонений от переменной а:

Чтобы найти экстремум этой функции, нужно её производную по а приравнять к нулю:

Отсюда имеем:

Таким образом, экстремум функции достигается в при а= . Так как мы видим, что наша функция - это квадратичная функция и представляет собой параболу, то ясно, что максимум она иметь не может. Следовательно, данный экстремум является минимумом.

2. Другие формы средних величин

Существуют и другие формы средней величины

Средняя квадратическая величина

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться средней квадратической величиной (х_кв). Её формула такова:

- простая (для негруппированных данных)

- взвешенная (для группированных данных)

Например, имеются три участка земельной площади со сторонами квадрата х₁ = 100 м, х₂ = 200 м, х₃ = 300 м. Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, мы очевидно, должны исходить из сохранения общей площади всех участков. Арифметическая средняя величина (100 + 200 + 300) : 3 = 200 м не удовлетворяет этому условию, так как общая площадь трех участков со стороной 200 м была бы равна: 3 * (200м)² = 120 000м² . В то же время площадь всех исходных участков равна: (100 м)² + (200 м)² + (300 м)² = 140 000 м². Правильный ответ дает средняя квадратическая:

м

Далее мы с вами будем изучать изменения вариации признака в совокупности. И там главной сферой применения средней квадратической является именно вычисление этого изменения.

Аналогично. Если необходимо сохранить неизменной сумму кубов индивидуальных значений признака при замене на среднюю величину, используют среднюю кубическую, которая определяется следующим образом

- простая (для негруппированных данных)

- взвешенная (для группированных данных)