Тема 4. Средние величины

1. Средняя арифметическая величина. Свойства средней величины

2. Другие формы средних величин. Применение средней величины

1. Средняя арифметическая величина. Свойства средней арифметической величины

Как мы уже говорили раньше, статистика изучает массовые явления и процессы. Каждое такое явление обладает как общими для всей совокупности свойствами, так и особенными, индивидуальными свойствами. Сейчас мы рассмотрим такое свойство массовых явлений - как присущая им близость характеристик отдельных явлений. Если в сосуд с горячей водой добавить холодной, то температура воды во всем сосуде станет со временем одинаковой (осреднится). Поведение детей, поступивших в одну группу детского сада или в один класс школы, тоже приобретает до какой-то степени общие, усредненные черты. Массовое промышленное производство невозможно без стандартизации, т.е. усреднения размеров деталей собираемых механизмов, узлов, агрегатов. Итак, взаимодействие элементов совокупности приводит к ограничению вариации хотя бы части их свойств. Эта тенденция существует объективно. Именно в объективности заключена причина широчайшего применения средних величин на практике и в теории.

Оплата за простой не по вине рабочего производится по средним расценкам или по среднечасовому заработку. С помощью метода средних величин статистика решает много задач. Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции, т.е. замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей совокупность явлений.

На производство одного и того же количества товара определенного вида и качества разные производители (заводы, фирмы) затрачивают неодинаковое количество труда и материальных ресурсов. Но рынок усредняет эти затраты, и стоимость товара определяется средним расходом ресурсов на производство.

Средняя величина определяется на основе индивидуальных значений и по конечному числу объектов, но будучи определенной рассматривается как обобщающий уровень данного признака, не связанный ни с конкретным уровнями, ни с конкретным объемом совокупности.

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления в конкретных условиях места и времени. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности. Так, для лиц с достаточно однородным уровнем дохода, например рабочих машиностроительной отрасли, пенсионеров по старости, можно определить типичные доли расходов на покупку предметов питания в их бюджете.

Однако неправильно сводить роль средних величин только к характеристике типичных значений признаков в однородных по данному признаку совокупностях. Среднюю величину определяют и для урожайности всех зерновых культур по территории всей России. Или, например, среднее потребление мяса на душу населения: ведь среди населения есть такие группы, как дети до одного года, вовсе не потребляющие мяса. Эти средние величины - это характеристики государства как единой народнохозяйственной системы, это, так называемые системные средние. Таким образом, средняя величина может обобщать системные средние для однородной совокупности, или системная средняя может обобщать типические средние для единой, хотя и неоднородной системы. При этом даже типическая средняя не является раз и навсегда данной, неизменной характеристикой.

Средние величины делятся на два больших класса.

1) степенные средние, к ним относятся средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая;

2) структурные средние, в качестве которых рассматривается мода и медиана.

Понятие средней арифметической

Виды средних величин отличают, прежде всего, тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.

Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.

Иначе можно сказать, что средняя величина - среднее слагаемое. При её вычислении общий объем признака медленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности. Например, средняя заработная плата или средний доход работников предприятия - это такая сумма денег, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь фонд заработной оплаты труда (или все доходы, направленные на личное потребление) был распределен между работниками поровну.

Исходя из определения, формула средней арифметической величины имеет вид:

(1)

где - средняя величина;

n - численность совокупности

По формуле (1) вычисляются средние величины первичных признаков, если известны индивидуальные значения признака. Если изучаемая совокупность велика, исходная информация чаще представляет собой ряд распределения или группировку, например

Распределение футбольных матчей высшей лиги России по числу забитых за матч обеими командами мячей в 1996 г.

Число забитых мячей, х	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	Итого
Число матчей, fi	30	56	71	59	49	24	12	3	0	2	306

Среднее число мячей, забитых за одну игру, должно представлять собой результат равномерного распределения общего числа забитых мячей по всем 306 матчам розыгрыша первенства. Общее число забитых мячей можно получить как сумму произведений значений признака в каждой группе х, на число игр с таким количеством забитых мячей f_i (частоты или веса). Получим формулу (2):

(2)

где n - число групп.

Такую форму средней величины называют взвешенной средней арифметической в отличии от простой средней, рассчитанной по формуле (1). В качестве весов выступают здесь числа единиц совокупности в разных группах. Название "вес" выражает тот факт, что разные значения признака имеют неодинаковую "важность" при расчете средней. Важнее число забитых мячей, которое встречалось чаще: 1, 2, 3 мяча, а такие значения, как 7 или 9 забитых мячей, как бы ни радовали болельщиков, при расчете средней не играют большой роли: их "вес" мал.

Таким образом имеем: = 802 : 306 = 2,62 мяча за игру.

Как видим средняя арифметическая величина может быть дробным числом, если даже индивидуальные значения признака могут принимать только целые значения. Из определения средней величины не вытекает, что она обязательно должна быть реальным значением признака, которое могло встретиться у какой-либо единицы совокупности.