МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет экономики и управления

Кафедра математических методов и моделей в экономике

ОТЧЕТ

«Численные методы решения задачи безусловной оптимизации»

Руководитель работы

____________ Зеленина Т.А.

"___"_______ 2013 г.

Исполнитель

студент гр. 12Экон(б)-7

____________________

Антонова Н.

"_____"______ 2013 г.

Оренбург – 2013

Лабораторная работа №1

Численные методы одномерной оптимизации

Задание:

1) Построить график функции, протабулировав значения на отрезке [a,b] с шагом h;

2) Определить начальный интервал неопределенности;

3) Организовать итерационный процесс для метода половинного деления, задав требуемую точность вычислений;

4) Построить диаграмму, иллюстрирующую изменение концов интервала неопределенности;

5) Организовать итерационный процесс для метода золотого сечения, задав требуемую точность вычислений;

6) Построить диаграмму, иллюстрирующую изменение концов интервала неопределенности;

7) Сравнить решения, полученные рассматриваемымичисленными методами: число итераций, анализ диаграмм изменения концов интервала неопределенности, сделать выводы;

8) Решить исходную задачу с помощью подпрограммы Excel «Поиск решения». Сравнить результат с решениями, полученными численными методами, сделать выводы.

Задание

Требуется решить задачу безусловной оптимизации функции.

1)f(x)= 2*x³+12*x²+13*x+15

1.Краткие теоретические сведения

Для решения задачи одномерной безусловной оптимизации могут использоваться следующие методы:

Метод дихотомии (половинного деления)

Метод половинного деления состоит в том, что мы уменьшаем длину интервала неопределенности так, что минимум остается внутри его; процесс продолжается до тех пор, пока длина интервала неопределенности не станет меньше заданной точности. Уменьшение длины интервала производится выбором двух точек x₁, x₂, расположенных симметрично относительно середины отрезка и сравнением значений функции в этих точках:

Возможны три случая, приводящие к сужению длины интервала неопределенности:

1 Случай.

f(x₁)>f(x₂)

в промежутке [a,x1] функция убывает, значит минимума нет,

поэтому новый уменьшенный интервал неопределенности [x₁,b] т.е.

a:=x₁.

2 Случай.

f(x₁)<f(x₂)

в промежутке [x₂,b] функция возрастает, значит минимума нет,

поэтому новый уменьшенный интервал неопределенности [a,x₂] т.е.

b:=x₂.

3. Случай

f(x₁)=f(x₂)

минимум внутри отрезка [x₁,x₂], поэтому новый уменьшенный

отрезок неопределенности [x₁,x₂] т.е. a:=x₁, b:=x₂.

Метод золотого сечения

Золотым сечением отрезка называют деление отрезка так, что отношение длины всего отрезка к длине большей части равно отношению длины большей части к меньшей части отрезка. Золотое сечение отрезка [a,b] производят две симметричные точки

Х₁ = a + λ(b-a) и X₂ = b - λ (b-a), где λ = ((3 - /2.

Заметим, что точка Х₁ в свою очередь производит золотое сечение отрезка [a, X₂], а точка X₂ - золотое сечение отрезка [Х₁,b].

Алгоритм поиска.

Начальный отрезок [a,b] делим точками Х₁ и X₂ по правилу золотого сечения. Вычисляем значения функций f(Х₁) и f(X₂).

Сравнение этих значений позволяет отбросить либо интервал [a,Х₁], либо интервал [X₂,b]. На оставшемся интервале уже есть одна точка, производящая его золотое сечение. Поэтому следует вычислить значение второй такой точки. На этом заканчивается первая итерация.

Таким образом, на каждой итерации, начиная со второй, требуется лишь одно вычисление функции и при этом интервал неопределенности уменьшается на величину λ ~ 0,382. Итерации продолжаются до тех пор, пока интервал неопределенности [a,b] не станет меньше заданной точности решения ε.

2. Практическая часть Метод дихотомии

1. Протабулировали функцию f(x)= 2*x³+12*x²+13*x+15 на отрезке [-100;100] с шагом 1 2. Построили график функции по полученным значения (рис1)

рис1 – график функции y= 2x³+12x²+13x+15

3. Выбрали интервал неопределенности, например, от [-2;1], точность вычисления = 0,0001 4. Определить координаты точек x1, x2,h, значение функции f(x1),f(x2) (см. таблица1)

Таблица 1

Адрес	Формула
A1	-2
B1	1
C1	=(A1+B1)/2-0,0001/3
D1	=(A1+B1)/2+0,0001/3
E1	==2*C2^3+12*C2^2+13*C2+15
F1	==2*D2^3+12*D2^2+13*D2+15
G1	=B1-A1
A2	=ЕСЛИ(K1>F1; C1; A1)
B2	=ЕСЛИ(K1<F1; D1; B1)
C2	=(A2+B2)/2-0,0001/3
D2	=(A2+B2)/2+0,0001/3
E2	==2*C3^3+12*C3^2+13*C3+15
F2	==2*D3^3+12*D3^2+13*D3+15
G2	=B2-A2

5. Протабулиров до тех пор, пока h не стало равно e(e=0,0001),получим таблицу следующего вида:

Таблица 2-Метод дихотомии

a	b	x1	x2	F(x1)	f(x2)	h
-2	1	-0,5	-0,5	11,25	11,25	3
-2	-0,5	-1,25	-1,25	13,594	13,593	1,5
-1,25	-0,5	-0,875	-0,875	11,473	11,473	0,7501
-0,875	-0,5	-0,6875	-0,6875	11,084	11,084	0,3751
-0,6875	-0,5	-0,5938	-0,5937	11,093	11,093	0,1876
-0,6875	-0,5937	-0,6407	-0,6406	11,071	11,071	0,0938
-0,6875	-0,6406	-0,662	-0,664	11,073	11,073	0,0469
-0,662	-0,6406	-0,6524	-0,6523	11,071	11,071	0,0235
-0,6524	-0,6406	-0,6465	-0,6464	11,071	11,071	0,0118
-0,6465	-0,6406	-0,6436	-0,6435	11,071	11,071	0,0059
-0,6465	-0,6435	-0,645	-0,645	11,071	11,071	0,003
-0,6465	-0,645	-0,6458	-0,6457	11,071	11,071	0,0015
-0,6465	-0,6457	-0,6461	-0,6461	11,071	11,071	0,0008
-0,6461	-0,6457	-0,646	-0,6459	11,071	11,071	0,0004
-0,6461	-0,6459	-0,6461	-0,646	11,071	11,071	0,0002
-0,6461	-0,6459	-0,646	-0,6459	11,071	11,071	0,0002
-0,6461	-0,6459	-0,646	-0,646	11,071	11,071	0,0001