1. Побудуйте граф на множині бінарного відношення числа – парне число. Побудуйте матрицю суміжностей та матрицю інциденцій цього графа.

2. У кожній із трьох шкіл навчається по n учнів. Кожен учень має в сумі n+1 знайомих учнів із двох інших шкіл. Довести, що можна вибрати по одному учню із кожної школи так, щоб всі троє вибраних були знайомі один з одним.

3. На скільки частин ділять площину n прямих, якщо паралельних серед них немає, і ніякі три не проходять через одну точку? Скільки при цьому утвориться вершин і сторін?

4. Країна розміщена на 1 млрд островах. Між деякими островами щоденно курсує пароплав. Відомо, що з довільного острова можна достатись пароплавом до іншого (можливо з пересадками). Диверсант і майор Пронін можуть робити не більше одного рейса в день і не мають інших транспортних засобів. Диверсант не їздить на пароплаві 13 числа кожного місяця. Майор Пронін не забобонний і завжди знає, де знаходиться диверсант. Довести, що майор наздожене диверсанта (буде з ним на одному острові).

Варіант№12

1. Побудуйте граф на множині бінарного відношення числа – ціле число. Побудуйте матрицю суміжностей та матрицю інциденцій цього графа.

2. Дано правильний 45-кутник. Чи можна в його вершинах розмістити цифри 0, 1, ... , 9 так, щоб для кожної пари різних цифр знайшлась сторона, кінці якої занумеровані цими цифрами?

3. Дано таблицю 4´4. Довести, що в клітинах таблиці можна так розташувати сім зірочок, що при викреслюванні довільних двох рядків і двох стовпців залишиться хоча б одна зірочка. Довести, що коли зірочок менше ніж 7, то завжди можна викреслити 2 стовпці і рядки так, щоб усі клітини, які залишились, були порожні.

4. У місті є 1000 будинків, у кожному з яких проживає одна людина. Якогось дня кожна людина переїздить із свого будинку в інший. І після переїзду, знову в кожному будинку проживає одна людина. Довести, що після переїзду можна пофарбувати всі 1000 будинків у синій, зелений і червоний колір, так щоб у кожного господаря колір його нового будинку відрізнявся від кольору старого.

Варіант№13

1. Побудуйте граф на множині бінарного відношення числа х та у не взаємно прості. Побудуйте матрицю суміжностей та матрицю інциденцій цього графа.

2. У просторі задано 4 точки, які не лежать в одній площині. Скільки існує різних прямокутників, для яких ці точки є вершинами?

3. У таблицю 8´8 вписано цілі числа від 1 до 64. Довести, що в ній знайдуться два сусідні числа, різниця між якими не менше від 5.

У кожну клітинку таблиці вписано число, яке дорівнює середньому арифметичному чотирьох чисел, які стоять у сусідніх клітинах. Довести, що найбільше число стоїть на краю таблиці.

4. 50 директорів різних шкіл з'єднані телефонами з 50 заступниками, причому кожний директор з'єднаний із 13 директорами. Довести, що можна видалити 600 провідників так, щоб кожний директор був зв'язаний з одним заступником, а кожний заступник з одним директором.

Варіант№14

1. Побудуйте граф на множині бінарного відношення числа – непарне число. Побудуйте матрицю суміжностей та матрицю інциденцій цього графа.

2. У правильному 9-кутнику вершини пофарбовані білим і чорним кольором. Довести, що існують два різних рівних трикутники, вершини кожного із яких пофарбовані одним кольором.

3. У таблиці 8´8 розміщено 64 невід'ємних числа, сума яких 1964. Сума чисел, які стоять на обох діагоналях дорівнює 116. Числа, які розміщені симетрично якої-небудь діагоналі рівні між собою. Довести, що сума чисел, які стоять у довільному рядку таблиці, не перевищує 520.

4. Мережа метро має на кожній лінії не менше ніж чотири станції, із них більше трьох пересадочних. Ні на якій пересадочній станції не перетинається більше двох ліній. Яке найбільше число ліній може мати друга мережа, якщо з довільної станції на довільну можна попасти, зробивши не більше двох пересадок?

Варіант№15