1. Побудуйте граф на множині бінарного відношення числа х та у не взаємно прості. Побудуйте матрицю суміжностей та матрицю інциденцій цього графа.

2. У колбі знаходиться колонія із n бактерій. У неї потрапив вірус, і за першу хвилину він знищує одну бактерію, й одразу після цього вірус і бактерії, які залишились, діляться пополам. За другу хвилину нові два віруси знищують дві бактерії, а потім віруси і бактерії, що залишились, діляться пополам і т. д. Чи наступить такий момент, що не залишиться жодної із бактерій?

3. Довести, що при n≥5 довільний прямокутник можна розбити на n прямокутників так, щоб ніякі два сусідні не утворювали разом прямокутник.

4. У деякому місті для кожних із трьох перехресть А, В, С є шлях, який веде із А в В і не проходить через С. Доведіть, що з кожного перехрестя на довільне інше ведуть принаймні два шляхи, які не перетинаються.

Варіант№8

1. Побудуйте граф на множині бінарного відношення числа – непарне число. Побудуйте матрицю суміжностей та матрицю інциденцій цього графа.

2. Чи можна на колові розмістити числа 0, 1,2,... 9 так, щоб кожні два сусідні відрізнялись на 3, 4 або 5?

3. На яке найбільше число частин розбивають поверхню кулі n кіл на ній?

4. У турнірі з футболу грають 20 команд. Яке найменше число ігор треба зіграти, щоб серед будь-яких трьох команд знайшлися дві, які вже зіграли між собою.

Варіант№9

1. Побудуйте граф на множині бінарного відношення числа х та у взаємно прості. Побудуйте матрицю суміжностей та матрицю інциденцій цього графа.

2. Король хоче побудувати n міст і n-1 доріг між ними так, щоб із кожного міста можна було проїхати в кожне інше (дороги не перетинаються і не проходять через інші міста). Чи може виконати бажання король, за умови, щоб найкоротша відстань по мережі доріг між парами міст була відповідно 1,2,3,..., км при n=6, n=1996.

3. На квадратному аркуші паперу намальовані n прямокутників із сторонами, які паралельні сторонам аркуша. Жодні два із цих прямокутників не мають спільних внутрішніх точок. Доведіть, що після вирізання всіх прямокутників кількість шматків, які утворюються із аркуша, не більше n+1.

4. У складанні 40 задач взяло участь 30 студентів усіх п'яти курсів. Кожні два однокурсники придумали однакове число задач. Кожні два студента з різних курсів придумали різне число задач. Скільки студентів придумало по одній задачі?

Варіант№10

1. Побудуйте граф на множині бінарного відношення числа – неціле число. Побудуйте матрицю суміжностей та матрицю інциденцій цього графа.

2. Із п'яти даних кіл кожні чотири проходять через одну точку. Довести, що є точка, через яку проходять всі п'ять кіл.

3. N точок з'єднані відрізками, що не перетинаються так, що із кожної точки можна пройти в кожну іншу по цим відрізкам, при цьому немає двох точок, які з'єднувались би двома різними шляхами. Довести, що загальне число відрізків N-1.

4. Довести, що в кожній групі з 12 осіб можна вибрати двох, а серед решти 10 ще 5 таких осіб, що кожна особа знайома з обома вибраними спочатку, або не знайома ні з одним із них.

Варіант№11