7.2. Обчислення визначного інтеграла

Формула Ньютона-Лейбніца

Теорема. Якщо функція у = f(x) безперервна на відрізку [а, b] і F(x) – яка-небудь її первісна на [а, b] ( ), то виконується рівність

. (7.2)

Доведення. Хай F(x) – первісна функції f(x). Тоді відповідно до приведеної вище теореми, функція - первісна функція від f(x). Але оскільки функція може мати нескінченно багато первісних, які відрізнятимуться один від одного лише на постійне число С, то

при відповідному виборі С ця рівність справедлива для будь-якого х, тобто при х = а:

, ,

Тоді .

А при х = b: .

Замінивши змінну t на змінну х, отримуємо формулу Ньютона – Лейбніца:

Теорема доведена.

Формула Ньютона – Лейбніца є загальний підхід до знаходження визначних інтегралів, якщо відома первісна функція F(x).

Приклади. Обчислити інтеграл

1. ;

2. ;

3. .

Розглянемо тепер методи обчислення визначних інтегралів, ці методи практично нічим не відрізняються від всіх тих способів, які були розглянуті при знаходженні невизначених інтегралів.

При обчисленні визначних інтегралів широко застосовуються методи заміни змінною і метод інтегрування по частинах.

Інтегрування підстановкою

Хай необхідно обчислити визначний інтеграл , де f(x) – безперервна функція на відрізку [а, b]. Обчислення даного інтеграла будемо проводити методом заміною змінної x = (t).

Теорема. Хай 1) функція x = ((t) і її похідна x’ = ’(t) безперервні

на відрізку [, ];

2) множина значень функції x = (t) при є відрізок

[а, b];

3) () = а, () = b

тоді

. (7.3)

Доведення. Хай F(x) - первісна для функції f(x) на [а, b].

Тоді по формулі Ньютона-Лейбніца . Оскільки, то є первісною для функції , . Тому по формулі Ньютона-Лейбніца

= .

Теорема доведена.

Формула (7.3) називається формулою заміни змінної в визначному інтегралі.

Приклад.

Інтегрування по частинам

Теорема. Якщо безперервні на відрізку [а, b] функції u = u (x) і v = v (x) мають безперервні на цьому відрізку похідні, то справедлива формула інтегрування по частинам:

(7.4)

Виведення цієї формули абсолютно аналогічне виведенню формули інтегрування по частинам для невизначеного інтеграла.

Формула (7.4) називається формулою інтегрування по частинам для визначного інтеграла.

Приклад.

= .

Приклади для самостійного розв‘язання

Обчислити визначний інтеграл

1) . 2) . 3) . 4) .

5) . 6) . 7) . 8) . 9) . 10) . 11) . 12) . 13) .

14) . 15) . 16) . 17) .