153

7. Визначний інтеграл

7.1.Поняття визначного інтеграла

Хай на відрізку [а, b] задана безперервна функція у = f(x). Розіб'ємо відрізок [а, b] на частини (не обов'язково однакові) n точками.

x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n

Тоді x₁ – x₀ = x₁, x₂ – x₁ = x₂, … ,x_n – x_n-1 = x_n – довжини часткових відрізків.

На кожному з отриманих частковому відрізку [x_i-1, x_i], i = 1, 2,., n виберемо довільну точку і знайдемо значення функції в цій точці, тобто f(с_i) (див. рис. 7.1).

Рис. 7.1.

Складемо вираження S_n, яке називається інтегральною сумою для функції у = f(x) на відрізку [а, b].

S_n = f(c₁)x₁ + f(c₂)x₂ + … + f(c_n)x_n = .

Позначимо λ довжину найбільшого часткового відрізку: (i = 1, 2,…, n). Знайдемо границю інтегральної суми, коли так, що .

Якщо при будь-якому розбиванні відрізка [а, b] на часткові таких, що maxx_i 0 і довільному виборі точок с_i інтегральна сума прагне до границі I, то це число називається визначним інтегралом від функції y = f(x) на відрізку [а, b] і позначається

Таким чином = . (7.1)

Числа а і b називаються відповідно нижньою і верхньою границями інтегралу, х – змінній інтегрування, [а, b] – відрізком інтегрування, f(x) - підінтегральною функцією, - підінтегральним виразом.

Функція у = f(x), для якої на відрізку [а, b] існує визначний інтеграл називається інтегрованою на цьому відрізку.

З рисунку 7.1. видно, що сума добутків S_n = дорівнює площі ступінчастої фігури і приблизно дорівнює площі S криволінійної трапеції:

S ≈ S_n = .

Із зменшенням всіх величин x_i криволінійної трапеції ступінчастою фігурою збільшується. Тому за точне значення площі криволінійної трапеції береться границя S, до якої прагне площа ступінчастої фігури S_n, коли n необмежено зростає так, що :

= , тобто S = .

Такий геометричний зміст визначного інтеграла.

Теорема (Коши). Якщо функція у = f(x) безперервна на відрізку [а, b], то вона інтегрована на цьому відрізку.

Існують і інші теореми математичного аналізу, що визначають класи функцій, інтегрованих на відрізку [а, b]. Зокрема такими є:

• безперервні на відрізку [а, b] функції;

• обмежені на відрізку [а, b] функції, що мають кінцеве число точок розриву;

• монотонні на відрізку [а, b] функції.

Основні властивості визначного інтеграла

Розглянемо основні властивості визначного інтеграла, вважаючи підінтегральну функцію інтегрованою на відрізку [а, b]

1. (С – const), тобто постійний множник С можна виносити за знак визначного інтеграла.

2. , тобто інтеграл від суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів.

3. .

4. .

5) Для довільних чисел а, b, с справедлива рівність:

, тобто інтеграл по всьому відрізку дорівює

сумі інтегралів по частинах цього відрізку.

6. Якщо функція f(x) зберігає знак на відрізку [а, b], де а < b, то інтеграл має той же знак, що і функція. Так якщо на відрізку [а, b], то .

7. Якщо f(x)  (x) на відрізку [а, b] (а < b), то , тобто нерівність між безперервними функціями на відрізку [а, b] (а < b) можна інтегрувати.

8. Якщо m і M – відповідно найменше і найбільше значення функції f(x) на відрізку [а, b] (а < b), то:

6. Теорема про середнє значення. Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [а, b], то на цьому відрізку існує точка така, що

.

Доведення: Відповідно до властивості 8:

або . Позначимо .

Оскільки функція f(x) безперервна на відрізку [а, b], то вона набуває на цьому відрізку всіх значень від m до М. Другими словами, існує таке число с [a, b], що  = f(с), тобто або . Теорема доведена.

10) Похідна визначного інтеграла по змінній верхній границі дорівнює підінтегральної функції, в якій змінна інтегрування замінена цією границею

Доведення: Хай функція у = f(x) інтегрована на відрізку [а, b]. Вводиться позначення , тут . Розглянемо три точки відрізку [а, b]: а , х та х + Δх ( ) і визначимо різницю . По властивості 5 визначних інтегралів перший інтеграл правої частини можна представити у вигляді суми . В результаті

.

По теоремі про середнє значення (властивість 9) , .

Далі обчислимо похідну функції

.