4.5.11. Безперервність функції в точці і класифікація розривів

Визначення. Функція f(x), визначена в околиці деякої точки х₀, називається безперервною в точці х₀, якщо межа функції і її значення в цій точці рівні, тобто

.

Можливі також і інші визначення безперервності функції в точці:

1) функція f(x) називається безперервною в точці х₀, якщо для будь-якого позитивного числа  > 0 існує таке число δ > 0, що для будь-яких х, що задовольняють умові

вірна нерівність .

2) функція f(x) називається безперервною в точці х = х₀, якщо приріст функції в точці х₀ є нескінченно малою величиною.

f(x) = f(x₀) + (x)

де (х) - нескінченно мала при х  х₀.

Визначення. Якщо функція f(x) визначена в деякій околиці точки х₀, але не є безперервною в самій точці х₀, то вона називається розривною функцією, а точка х₀ - точкою розриву.

Класифікація точок розриву.

Розглянемо деяку функцію f(x), безперервну в околиці точки х₀, за виключенням може бути самої цієї точки. З визначення точки розриву функції виходить, що х = х₀ є точкою розриву, якщо функція не визначена в цій точці, або не є в ній безперервною.

Слід зазначити також, що безперервність функції може бути односторонньою.

Якщо існує одностороння границя , те функція називається безперервної справа.

Якщо існує одностороння границя , те функція називається безперервною зліва.

Визначення. Точка х₀ називається точкою розриву 1 - го роду, якщо в цій точці функція f(x) має кінцеві, але не рівні один одному ліву і праву границі.

Для здійснимості умов цього визначення не потрібно, щоб функція була визначена в точці х = х₀, досить того, що вона була визначена зліва і справа від цієї точки.

З визначення можна зробити висновок, що в точці розриву 1 - го роду функція може мати тільки кінцевий стрибок. У деяких окремих випадках точку розриву 1 - го роду ще іноді називають усувною точкою розриву.

Визначення. Точка х₀ називається точкою розриву 2 - го роду, якщо в цій точці функція f(x) не має хоч би одну з односторонніх границь або хоч би один з них нескінченний.

Приклад 1. Функція f(x) = має в точці х₀ = 0 точку розриву 2 – го роду, тому що. .

Приклад 2. f(x) =

Функція не визначена в точці х = 0, але має в ній кінцеву границю , тобто в точці х = 0 функція має точку розриву 1 – го роду. Це – усувна точка розриву, тому що цю функцію можна до визначити як:

Графік цієї функції:

Приклад 3. f(x) = =

y

1

0 x

-1

Ця функція також позначається sign(x) - знак х. У точці х = 0 функція не визначена. Тому як ліва і права границі функції різні, то точка х = 0 є точкою розриву 1 - го роду. Якщо до визначити функцію в точці х = 0, поклавши f(0) = 1, то функція буде безперервна справа, якщо покласти f(0) = - 1, або функція буде безперервною зліва, якщо покласти значення f(0) будь якому числу, відмінному від 1 або, - 1, то функція не буде безперервна ні зліва, ні справа, але в усіх випадках матуємо в точці х = 0 розрив 1 - го роду. В даному прикладі точка розриву 1 - го роду не є усувною.