3.6.2. Поверхні другого порядку

Поверхні другого порядку - це поверхні, рівняння яких в прямокутній системі координат є рівняннями другої степені.

Циліндричні поверхні

Циліндричними поверхнями називаються поверхні, які утворені лініями, паралельними будь-якої фіксованій прямій.

Розглянемо поверхні, в рівнянні яких відсутня складова z, тобто ті, у яких направляючи паралельні осі Оz. Тип лінії на площині Oxy (ця лінія називається направляючій поверхні) визначає характер циліндричної поверхні. Розглянемо деякі окремі часткові випадки залежно від рівняння направляючих ліній

1) - еліптичний циліндр.

2) - гіперболічний циліндр.

3) x² = 2py – параболічний циліндр.

Поверхні обертання

Поверхня, що описується деякою лінією, яка обертається навколо нерухомої прямої d, називається поверхнею обертання з віссю обертання d.

Якщо рівняння поверхні в прямокутній системі координат має вигляд:

F(x² + y², z) = 0, то ця поверхня - поверхня обертання з віссю обертання Оz.

Аналогічно: F(x² + z², y) = 0 - поверхня обертання з віссю обертання Оу.

F(z² + y², x) = 0 - поверхня обертання з віссю обертання Ох.

Запишемо рівняння поверхонь обертання для деяких окремих випадків:

1. - еліпсоїд обертання

2. - однополий гіперболоїд обертання

3. - двуполий гіперболоїд обертання

4. 

   - параболоїд обертання

Проте, перелічені вище поверхні є усього лише окремими випадками поверхонь другого порядку загального вигляду, деякі типи яких розглянуті нижче:

Сфера:

Тривісний еліпсоїд:

У перерізі еліпсоїда площинами, паралельними координатним площинам, виходять еліпси з різними осями.

Однополий гіперболоїд:

Двуполий гіперболоїд:

Еліптичний параболоїд:

де р > 0, q > 0

Гіперболічний параболоїд:

Конус другого порядку:

3.7. Графічні можливості Maxima

Графіка стала найважливішою складовою усіх сучасних систем комп'ютерної математики. Вона є засобом комп'ютерної візуалізації обчислень і забезпечує наочне представлення результатів багатьох обчислень. Наприклад, при реалізації багатьох наближених чисельних математичних методів необхідно знати початкове наближення, яке, як правило, визначається візуально за графічним уявленням відповідної залежності. Зокрема, завдання відділення коренів при розв‘язанні рівнянь з одним невідомим, визначення локальних мінімумів (максимумів) функції двох змінних та ін. успішно вирішуються з урахуванням графічного рельєфу функціональної залежності. Розв‘язок диференціальних рівнянь (звичайних або в часткових похідних) також зручно представляти у візуалізованій формі.

Maxima представляє великі можливості для візуалізації функцій одній і двох змінних. У цьому розділі розглядається не загальні можливості Maxima, а тільки ті можливості, які пов'язані з візуалізацією кривих і поверхонь другого порядку.

Графіки функцій однієї змінної

Для побудови графіків на площині можна використати команду plot2d :

plot2d(вираз, [символ, початок, кінець]),

де вираз задає функцію, графік якої треба побудувати;

символ - змінна, що входить у вираз функції;

початок і кінець задають відрізок осі Ох, на якому будується графік функції y =f(x), область зміни змінної у вибирається автоматично, виходячи з мінімуму і максимуму функції на заданому проміжку.

Після виклику функції plot2d відкривається вікно Gnuplot graph з виконаною побудовою. Графік можна масштабувати тільки зі зміною розмірів вікна. Також можна проглянути координати якої-небудь точки графіку функції. Щоб побудувати в одній площині одночасно два графіки (чи більше), у функції plot2d слід замість окремого вираження вказати їх список.

За допомогою команди plot2d можна будувати графіки параметрично заданих функцій. Для цього використовується список з ключовим словом parametric :

plot2d([parametric, x-вираз, y-вираз, [змінна, початок, кінець], [nticks, кількість]]).

Тут x - вираз і y- вираз задають залежність координат від параметра, тобто це дві функції виду x(t), y(t), де t - параметр. Ця ж змінна прописується в наступному списку, параметри початок, кінець задають відрізок, в межах якого цей параметр змінюватиметься. Останній аргумент - список, з ключовим словом nticks, задає кількість точок, на які буде розбитий інтервал зміни параметра при побудові графіку.

Крім того, в системі Maxima можна використовувати вбудовані функції для побудови графіків в різних системах координат. Наприклад, функція

polar (radius, ang, minang, maxang)

виконує побудову графіку функції radius(ang), яка задана в полярній системі координат, аргумент ang міняє значення від minang до maxang.

Наведемо декілька прикладів.

Приклад 1. Побудувати графік функції y=2е^-0,1xcosx (затухаючі коливання).

1 спосіб. У осередку введення задаємо команду: plot2d(2*exp(0.1*x) *cos(x)[x, 0, 20]). Після натиснення клавіш Shift+Enter або F5 формується осередок введення в документі

(%i2) plot2d(2*exp(- 0.1*x) *cos(x)[x, 0,20]);

і відкривається вікно програми Gnuplot graph з графіком функції :

2 спосіб. У панелі інструментів вибираємо кнопку Графіки → Plot 2d., з'являється діалогове вікно, в якому пропонується ввести вираз для графіку функції, межі зміни змінної по осі x і y, кількість точок графіку, вибрати формат для побудови графіку функції. Наприклад, для побудови графіку функції y = 2е^-0,1x cos x виберемо наступні параметри:

При натисненні на кнопку Ok отримаємо той же графік. Таким чином, можна вибирати найбільш зручний спосіб побудови графіків функцій на площині.

Приклад 2. Побудувати графік параболи

Після натиснення клавіш Shift+Enter або F5 формується осередок введення, в якому вводимо команду plot2d(3*x**2-2*x - 4,[x, - 2,3]);

(%i6) plot2d(3*x**2-2*x - 4,[x, - 2,3]);

і відкривається вікно програми Gnuplot graph з графіком функції :

Приклад 3. Побудувати графік кола, заданого в параметричній формі

Виконаємо побудову графіку параметрично заданої функції таким чином. Викликаємо діалогове вікно для побудови графіку функції, натиснувши кнопку Графіки → Plot 2d. У цьому вікні вибираємо Додатково → Параметричний графік. Відкривається діалогове вікно для введення функції. Заповнюємо:

Натискаємо на кнопку Ok. Тепер вводимо межі зміни змінних x і y у вікні Двовимірний графік. Натискаємо на кнопку Ok. В результаті отримуємо графік:

Приклад 4. Побудувати графік неявної функції. В цьому випадку необхідно скористатися пакетом для побудови графіків неявно заданих функцій implicit _ plot. Виконаємо завантаження пакету :

(%i7) load(implicit _ plot) $

Тепер виконуємо побудову графіку еліпса :

(%i8) implicit_plot((x^2)/9+(y^2)/4-1,[x,-3,3],[y,-2,2]);

Аналогічним чином побудуємо графік гіперболи

(%i17) implicit_plot((x^2)/2-(y^2)-1,[x,-5,5],[y,-3,3]);

Графіки функцій двох змінних

Для побудови графіків поверхонь і кривих в просторі призначена функція plot3d. Функція plot3d має два варіанти виклику : один для явного завдання функції і один для параметричного. У обох випадках функція приймає три аргументи.

Синтаксис для явно заданої функції:

plot3d(вираз, [змінна1, початок, кінець], [змінна2, почоток, кінець]);

- тут аргументи аналогічні plot2d, з тією різницею, що тут незалежних змінних дві.

Графік параметрично заданої функції будується так:

plot3d([вираз1, вираз2, вираз3], [змінна1, початок, кінець], [змінна2, початок, кінець]);

- тут вирази відповідають, по порядку, x(u, v), y(u, v), z(u, v).

Для побудови 3D графіка функції в сферичній системі координат використовується функція

spherical(radius, azi, minazi, maxazi, zen, minzen, maxzen)

де функція radius(azi, zen) задається в сферичних координатах.

Для побудови 3D графіка функції в циліндричній системі координат використовується функція

cylindrical(radius, z, minz, maxz, azi, minazi, maxazi)

де функція radius(z, azi) задається в циліндричних координатах.

Приклад 1. Побудувати графік поверхні z = 2x² + 5y² (еліптичний

параболоїд). Після натиснення клавіш Shift+Enter або F5 формується осередок введення, в якому вводимо команду plot3d(2*x^2-5*y^2,[x,-5,5],[y,-5,5])

(%i18) plot3d(2*x^2+5*y^2,[x,-5,5],[y,-5,5]);

відкривається вікно програми Gnuplot graph з графіком функції :

Аналогічним чином будуємо графік гіперболічного параболоїда z = 4x² - y²

(%i19) plot3d(4*x^2-y^2,[x,-5,5],[y,-5,5]);

Приклад 2. Побудувати графік поверхні еліптичного циліндра

Задамо рівняння еліптичного циліндра в параметричній формі:

Після натиснення клавіш Shift+Enter формується осередок введення, в якому вводимо команду

(%i2) plot3d([3*cos(t),2*sin(t),v],[t,-%pi,%pi],[v,0,10]);

відкривається вікно програми Gnuplot graph з графіком функції :

Аналогічним чином будуємо графік гіперболічного циліндра

Задамо рівняння гіперболічного циліндра в параметричній формі.

В осередок введення вводимо команду plot3d([3*cosh(t),2*sinh(t),v],[t,-2,2],[v,0,10]);

(%i7) plot3d([3*cosh(t),2*sinh(t),v],[t,-2,2],[v,0,10]);

Графік гіперболічного циліндра має вигляд

Приклад 3. Побудувати графік поверхні тривісного еліпсоїда .

Задамо рівняння тривісного еліпсоїда в параметричній формі.

Після натиснення клавіш Shift+Enter формується осередок введення, в якому вводимо команду plot3d([3*cos(u)*cos(v), 2*cos(u)*sin(v), sqrt(5)*sin(u)],[u,-%pi,%pi], [v,-%pi,%pi]);

(%i8) plot3d([3*cos(u)*cos(v), 2*cos(u)*sin(v), sqrt(5)*sin(u)],[u,-%pi,%pi], [v,-%pi,%pi]);

відкривається вікно програми Gnuplot graph з графіком функції :

Аналогічним чином будуємо графік однополоого гіперболоїда

Задамо рівняння однополого гіперболоїда в параметричній формі.

В осередок введення вводимо команду plot3d([sqrt(2)*cos(u)*cosh(v), 3*sin(u)*cosh(v), sqrt(3)*sinh(v)],[u,-%pi,%pi], [v,-%pi,%pi]);

(%i9) plot3d([sqrt(2)*cos(u)*cosh(v), 3*sin(u)*cosh(v), sqrt(3)*sinh(v)],[u,-%pi,%pi],

[v,-%pi,%pi]);

Графік однополого гіперболоїда має вигляд

Аналогічним чином будуємо графік двуполого гіперболоїда

Задамо рівняння двуполого гіперболоїда в параметричній формі

В осередок введення вводимо команду plot3d([2*cos(u)*sinh(v), sqrt(5)*sin(u)*sinh(v), sqrt(6)*cosh(v)],[u,-%pi,%pi], [v,-%pi,%pi]);

(%i12) plot3d([2*cos(u)*sinh(v), sqrt(5)*sin(u)*sinh(v), sqrt(6)*cosh(v)],[u,-%pi,%pi],

[v,-%pi,%pi]);

Графік двуполого гіперболоїда має вигляд