Операції над векторами

Під лінійними операціями над векторами розуміють операції складання і віднімання векторів, а також множення вектора на число.

Складання векторів

Визначення 3.7. Хай і два довільні вектори. Візьмемо довільну точку О і побудуємо вектор . Від точки А (кінець вектора ) відкладемо вектор . Вектор, який сполучає початок першого вектору з кінцем другого, називається сумою векторів і : (див. рис. 3.3).

Це правило складання векторів називають правилом трикутника.

Рис. 3.3. Складання векторів за правилом трикутників

Суму двох векторів можна побудувати також за правилом паралелограма

Мал. 3.4. Складання векторів за правилом паралелограма.

Тепер розглянемо складання будь-якого числа векторів. Нехай задані n векторів . І вимагається знайти їх суму. Вибираємо довільну точку О (полюс) і з початком в цій точці відкладемо вектор , до кінця вектору приставимо початок вектору , до кінця побудованого вектору приставимо початок вектору і так далі. Нарешті, до кінця вектору приставимо початок вектору (рис. 3.4). Тоді вектор , початком якого є початок вектору , а кінцем - кінець вектору , і буде сумою векторів : . При цьому байдуже, в якому порядку нумеруються задані вектори.

Мал. 3.4. Складання будь-якого числа векторів.

Якщо система векторів задана своїми координатами ( ), то координати сумарного вектору ( ) визначаються наступними співвідношеннями

, , . (3.3)

Різниця векторів

Визначення 3.8. Під різницею векторів і розуміється вектор такий, що (рис. 3.5)

Рис. 3.5. Різниця векторів.

Якщо вектори і задані своїми координатами (a_x, a_y, a_z), (b_x, b_y, b_z), то координати різниці векторів визначаються по формулах

с_x = a_x – b_x , с_y = a_y – b_y, с_z= a_z – b_z . (3.4)

Визначення 3.9. Добутком k вектору на число k називається вектор, колінеарний вектору , модуль його рівний |k||a|, а напрям, співпадає з напрямом при k > 0 і протилежний при k < 0.

Властивості множення вектора на число:

1) k(a + b) = ka + kb.

2) (k + m)a = ka + ma.

3) k(ma) = (km)a.

Властивості лінійних операцій над векторами:

1) + = + - комутативність

2) + ( + ) = ( + )+

3) + =

4) +(-1) =

5) () = ( ) – асоціативність

6) (+) =  +  - дистрибутивність

7) ( + ) =  + 

8) 1 =

Проекція вектора на вісь

Нехай задані вектор АВ і вісь х. Розглянемо вектор А₁В₁, початком якого є точка А₁ - проекція точки А на вісь х, а кінцем - точка В₁ - проекція точки В на ту ж вісь.

Рис. 3.6. Проекція вектора АВ на вісь х

Визначення 3.10. Проекцією вектора АВ на вісь х називається довжина вектора А₁В₁, узята зі знаком "+", якщо напрям А₁В₁ співпадає з напрямом осі х, зі знаком "-", якщо напрям А₁В₁ протилежний напряму осі х.

Пр_х АВ = ± | А₁В₁ |. (3.5)

Властивості проекцій:

1). Пр_х АВ = | АВ | ∙ cos (AB^x);

2). Пр_х λ∙АВ = λ∙ Пр_х АВ;

3). Пр_х ( ) = Пр_х + Пр_х - Пр_х .