Відстань між двома точками

Вимагається знайти відстань між двома точками А(х₁,у₁,z₁) і В(х₂,у₂,z₂) в просторі Охуz.

Розв‘язок. Шукана відстань d дорівнює довжині вектора AB(x₂–x₁,y₂–y₁,z₂–z₁),

тобто d = | AB | = . (3.18)

Ділення відрізку в заданому відношенні

Вимагається розділити відрізок АВ, що сполучає точки А(х₁,у₁,z₁) и В(х₂,у₂,z₂) в заданому відношенні λ > 0, тобто знайти координати точки М(х, у, z) відрізку АВ таки, що АМ/МВ = λ (див. рис. 3.10).

Розв‘язок. Введемо в розгляд вектори АМ і МВ .

Точка М ділить відрізок АВ у відношенні λ тобто АМ = λ МВ. Але АМ = (х - х₁, у - у₁, z - z₁) і

МВ = (х₂ - х, у₂ - у, z₂ - z), тому

(х – х₁) = λ(х₂ – х), (y – y₁) = λ(y₂ – y) и (z – z₁) = λ(z₂ – z) Рис. 3.10.

або , . . (3.19)

Формули (3.19) називаються формулами ділення відрізку в цьому відношенні. Зокрема, при λ = 1, тобто якщо АМ = МВ, то вони наберуть вигляду

, , .

В цьому випадку точка М(х, у, z) є серединою відрізку АВ.

Зауваження. Якщо λ < 0, то точка М лежить поза відрізку АВ - кажуть, що точка М ділить відрізок АВ зовнішнім чином.

3.4. Аналітична геометрія в просторі

Як на площині, так і в просторі, будь-яка лінія може бути визначена як сукупність точок, координати яких в деякій вибраній в просторі системі координат задовольняють рівнянню :

F(x, y, z) = 0.

Це рівняння називається рівнянням лінії в просторі.

Передусім, розглянемо геометричне місце, точок визначуване рівняннями першого ступеня. Такими є рівняння площини і прямої лінії в просторі.

3.4.1. Рівняння площини в просторі

Рівняння площини, що проходить через задану точку

перпендикулярно даному вектору

Нехай в просторі Охyz площина π задана точкою М₀(х₀, у₀, z₀) і вектором (А, В, С), перпендикулярним цій площині (рис. 3.11). Знайти рівняння площини π.

Візьмемо на цій площині довільну точку М(х, у, z) і утворимо вектор

= (х – х₀, y – y₀, z – z₀).

При будь якому розміщенні точки М на площині π вектори і взаємно перпендикулярні, тому їх скалярний добуток дорівнює нулю:

∙ = 0, тобто

. (3.20)

Рис. 3.11.

Рівняння (3.20) називається рівнянням площини, що проходить через точку М₀(х₀, у₀, z₀) перпендикулярно вектору = (А, В, С).

Воно є рівнянням першої степені відносно поточних координат х, у і z. Вектор = (А, В, С) називається нормальним вектором площини.

Надаючи коефіцієнтам А, В, і С рівняння (3.20) різні значення, можна отримати рівняння будь-якої площини, що проходить через точку М₀ . Сукупність площин, що проходять через цю точку, називається зв'язкою площин, а рівняння (3.20) - рівнянням зв'язки площин.

Загальне рівняння площини

Розглянемо загальне рівняння першого ступеня з трьома змінними х, у і z:

A x + B y + C z + D = 0. (3.21)

Вважаючи, що принаймні один з коефіцієнтів А, В або С не дорівнює нулю, наприклад В ≠ 0, перепишемо рівняння (3.21) у виді

A (x - 0)+ B (y + D/B) + C (z - 0) = 0.

Порівнюючи це рівняння з рівнянням (3.20), бачимо, що це рівняння є рівнянням площини з нормальним вектором = (А, В, С), що проходить через точку М₁( 0, - (D/B), 0).

Отже, рівняння (3.21) визначає в системі координат Охyz деяку площину. Рівняння(3.21) називається загальним рівнянням площини.

Рівняння площини, що проходить через три ці точки

Три точки простори, що не лежать на одній прямій, визначають єдину площину. Знайдемо рівняння площини π, такою, що проходить через три ці точки М₁(х₁,у₁,z₁), М₂(х₂,у₂,z₂), і М₃(х₃,у₃,z₃), що не лежать на одній прямій.

Візьмемо на площини довільну точку М(х, у, z) і утворимо вектори = (х – х₁, y – y₁, z – z₁) , = (х₂ – х₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁), = (х₃ – х₁, y₃ – y₁, z₃ – z₁). Ці вектори лежать на площині π, отже, вони компланарні. Використаємо умову компланарності трьох векторів (їх змішаний добуток дорівнює нулю), отримаємо ∙( ) = 0, тобто

= 0 . (3.22)

Рівняння (3.22) є рівняння площини, що проходить через три точки.

Рівняння площини у відрізках

Нехай площина відсікає на осях Ox, Oy і Oz відповідно відрізки a, b і с, тобто проходить через три точки А(а, 0,0), В(0, b, 0) і C(0, 0, c) (див. рис. 3.12)

Рис. 3.12.

Підставляючи координати цих точок в рівняння (3.22), отримаємо

= 0.

Вичисливши цей визначник, маємо bcx – abc+abz+acy = 0, т.е. bcx + acy + +abz = abc або

. (3.23)

Рівняння (3.23) називається рівнянням площини у відрізках на осях.