4.3. Обчислення границі функції в середовищі Maxima

Границя функції f(x) при x → a обчислюється за допомогою функції

limit(f(x), x, a);

Розглянемо приклади:

1) Знайти границю

Розв’язування: виконуємо команду

(%i1) limit(sin(x)/x,x,0);

Результат на екрані:

(%o1) 1

2) Знайти границю

(%i2) limit((1+cos(%pi*x))/(tan(%pi*x)^2),x,1);

(%o2) 1/2

Задачі для самостійного розв‘язування

4.30. Відповідь:

4.31. Відповідь:

4.32. Відповідь: 4.33. Відповідь:

4.34. Відповідь: 4.35. Відповідь:

4.36. Відповідь:

4.37. Відповідь:

4.38. Відповідь:

4.39. Відповідь:

4.40. Відповідь:

4.41. Відповідь:

4.42. Відповідь: 4.43. Відповідь:

4.44. Відповідь:

4.4. Похідна і диференціал функції

Похідна функції. Похідною функції f(x) в точці х = х₀ називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу, якщо він існує.

. (4.3)

Основні правила диференціювання функцій. Хай функції u = u (x) і v = v(x) – диференційовані в точці х . а C – постійна величина (C = const). Мають місце наступні правила:

1) ;

2) ;

3. (u ( v)( = u( ( v( ;

4. (u(v)( = u(v( + u((v ;

5. , якщо v ≠ 0 .

Таблиця похідних:

1) С´ = 0	9)
2) ( xm )´ = m xm-1	10)
3)	11)
4)	12)
5)	13)
6)	14)
7)	15)
8)	16)

Похідна складної функції. Хай функції y = f(u) і u = g(x) диференційовані у відповідній точці, причому область значень функції g(x) входить в область визначення функції f.

Тоді . (4.4)

Приклади. Знайти похідну

1)

2)

3)

4)

Логарифмічне диференціювання. Похідна степенево-показової функції

. (4.5)

Приклади. 5) ,

6) ,

.

Функція, задана параметрично. Хай залежність між аргументом х і функцією у задана в параметричному вигляді

, де t – параметрична змінна.

. (4.6)

Приклад. 7)

Похідні вищих порядків. Хай ми знайшли від функції у = f(х) її похідну у′ = f ′(х). Похідна від цієї похідної і називається похідною другого порядку від функції f(х) і позначається y′′ або f ′′(х) або . Аналогічно визначаються і позначаються: похідна третього порядку у′′′ = f′′′(x) = ;

похідна четвертого порядку у^IV= f^IV(x) = ;…

похідна n-ого порядку у⁽ⁿ⁾ = f ⁽ⁿ⁾(x) = .

Приклади. 1) у = 5х⁴ – 3х³ + 2х – 2.. Знайти у′′.

Розв‘язок. Знаходимо на початку першу похідну: у′ = 20х³ – 9х² +2, потім другу похідну: у′′ = 60х² – 18х .

2. y = х sinx.. Знайти у′′′.

Розв‘язок. y` = sin x + x cos x

y′′ = cosx + cosx – x sinx = 2cosx – x sinx

y′′′ = -2sinx – sinx – x cosx = -3sinx – x cosx.

Задачі для самостійного розв’язку

4.45. ;

Відповідь:

4.46. ;

Відповідь:

4.47. ;

Відповідь:

4.48. ;

Відповідь:

4.49. ;

Відповідь:

4.50. ;

Відповідь:

4.51. ;

Відповідь:

Диференціал функції. Диференціалом функції f(x) в точці х називається головна лінійна частина приросту функції.

dy = f´ (x) dx. (4.7)

Приклад. Знайти диференціал .

8)

9)

10)

11)

Задачі для самостійного розв’язку

Знайти похідні функцій

4.52. Відповідь:

4.53. Відповідь:

4.54. Відповідь:

4.55. Відповідь:

4.56. Відповідь:

4.57. Відповідь:

4.58. Відповідь:

4.59. Відповідь:

4.60. Відповідь:

4.61. Відповідь:

4.62. Відповідь:

4.63. Відповідь:

4.64. Відповідь:

4.65. Відповідь:

4.66. Відповідь:

4.67. Відповідь:

4.68. Відповідь:

4.69. Відповідь:

4.70. Відповідь:

4.71. Відповідь:

4.72. Відповідь:

4.73. Відповідь:

4.74. . Відповідь:

4.75. . Відповідь:

4.76. . Відповідь:

4.77. . Відповідь:

4.78. . Відповідь:

4.79. . Відповідь:

4.80. . Відповідь:

4.81. . Відповідь:

4.82. . Відповідь:

4.83. . Відповідь:

4.84. . Відповідь:

4.85. . Відповідь:

4.86. . Відповідь:

4.87. . Відповідь:

Логорифміфчне диференціонування

4.88. Відповідь:

4.89. Відповідь:

4.90. Відповідь:

4.91. Відповідь:

4.92. Відповідь:

4.93. Відповідь:

4.94. Відповідь:

4.95. Відповідь:

4.96. Відповідь:

4.97. Відповідь:

4.98. Відповідь:

4.99. Відповідь:

4.100. . Відповідь:

4.101. . Відповідь:

4.102. . Відповідь:

4.103. . Відповідь:

4.104. . Відповідь:

4.105. . Відповідь:

4.106. . Відповідь:

4.107. . Відповідь:

4.5. Застосування похідної

Рівняння дотичної до кривої: . (4.8)

Рівняння нормалі до кривої: . (4.9)

Приклад. 1) Знайти рівняння дотичної і нормалі до елипсу в точці M₀(x_0, y₀).

Розв´язок. Знайдемо кутовий коефиєнт дотичної, для цього знайдемо похідну від функції, яка задана неявно

В точці маємо

Тоді: рівняння дотичної

рівняння нормалі .

Розкриття невизначеностей (правила Лопіталя)

(4.10)

Приклади

2) Знайти границю: = = = = 0.

3) Знайти границю: .

; ;

- знову вийшла невизначеність.

Застосуємо правило Лопіталя ще раз.

; ;

- застосовуємо правило Лопіталя ще раз.

; ;

;

4). Знайти границю .

Тут y = x ^x , ln у = x lnx.

Тоді Отже .

5). Знайти межу .

; - отримали невизначеність.

Застосовуємо правило Лопіталя ще раз.

; .

Задачі для самостійного розв‘язання

Знайти границю

4.108. . Відповідь: 4.109. . Відповідь:

4.110. . Відповідь:

4.111. . Відповідь: 4.112. Відповідь:

4.113. . Відповідь: 4.114. Відповідь: