6.6. Невласні інтеграли
Невласний інтеграл I роду (інтеграл з нескінченним проміжком інтегрування)
=
.
(6.14)
Якщо ця границя існує і вона кінцева, то невласний інтеграл збігається.
Аналогічним
чином визначається невласний інтеграл
на проміжку
=
.
(6.15)
Невласний інтеграл з двома нескінченними границями визначається формулою
=
+
,
(6.16)
де с – довільне число.
Приклади. Обчислити невласні інтеграли або встановити їх розбіжність:
1.
=
,
інтеграл розбігається;
2.
=
=
=
=
;
3.
=
, інтеграл розбіжний, оскільки при
границя
не існує.
4.
Визначити площу фігури, обмеженою
кривою
і віссю Ох
=
=
=
.
Ознаки порівняння
Якщо
на проміжку
для безперервних функцій задовольняється
нерівність 0
,
то із збіжності інтеграла
виходить збіжність інтеграла
,
з розбіжності інтеграла
виходить розбіжність інтеграла
.
Приклад.
Досліджувати
збіжність інтеграла
.
Підінтегральна
функція
на проміжку інтегрування менше ніж
,
а інтеграл
сходиться. Отже, даний інтеграл також
збігається.
Невласний інтеграл II роду (інтеграл від розривної функції)
.
(6.17)
Якщо границя в правій частині існує, то невласний інтеграл збігається.
Якщо функція f(x) має розрив в точці с на проміжку [а, b], то невласний інтеграл II роду визначається формулою
. (6.18)
Приклади. Обчислити або встановити збіжність невласного інтеграла:
1.
.
При х = 1 функція
має нескінченний розрив.
=
2.
.
При х = 0 функція
має нескінченний розрив.
=
,
інтеграл розбігається.
Приклади для самостійного розв‘язку
Обчислити невласні інтеграли або встановити їх розбіжність:
6.111.
.
Відповідь:
6.112.
.
Відповідь:
6.113.
.
Відповідь:
6.114.
.
Відповідь:
6.115.
.
Відповідь:
6.116.
.
Відповідь:
6.117. Відповідь: 6.118. Відповідь:
6.119. Відповідь: 6.120. Відповідь:
6.121. Відповідь: 6.122. Відповідь:
6.7. Обчислення невласних інтегралів в середовищі Maxima
У символьному режимі (аналітично) невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування обчислюються, якщо в параметрах команди integrate вказувати, наприклад, x, 0, inf.
Приклади. Обчислити невласні інтеграли
1)
(%i2) integrate(1/(x*sqrt(1+x^2)),x,1/2,inf);
(%o2) asinh(2)
(%i3) float(%), numer;
(%o3) 1.44363547517881
2)
(%i4) integrate(1/(x^2+6*x+12),x,-inf,inf);
(%o4) %pi/sqrt(3)
(%i5) float(%), numer;
(%o5) 1.813799364234218
Чисельне інтегрування виконується функцією romberg або за допомогою функцій пакету quadpack.
Приклади.
1)
Обчислити невласний інтеграл
.
Необхідно скористатися рядком меню основного вікна Maxima і вибрати розділ Аналіз → Integrate…
Виникає допоміжне вікно Інтегрувати, в якому вводиться підінтегральна функція, границі інтегрування визначного інтеграла і чисельне інтегрування за допомогою функції romberg або функцій пакету quadpack.
Натискує клавішу Ok, в робочому вікні виникає результат розрахунку
(%i6) quad_qags(1/sqrt(1-x^3), x, 0, 1);
(%o6) [1.402182105325406,9.8784758151282404*10^-11,315,0]
2)
Обчислити
невласний інтеграл
.
Аналогічно попередньому прикладу, отримуємо наступний результат:
(%i8) quad_qagi(x*exp(-х)*sqrt(1-exp(-х)), x, 0, inf);
(%o8) [0.85358153702822,6.8297022008283337*10^-9,255,0]
Приклади для самостійного розв‘язку
Обчислити невласні інтеграли:
6.123.
.
Відповідь:
6.124.
.
Відповідь:
6.125.
.
Відповідь:
6.126.
.
Відповідь:
6.127.
. Відповідь:
6.128.
.
Відповідь:
6.129.
.
Відповідь:
6.130.
.
Відповідь:
